이중 지수 평활에 대한 방법 및 공식

이중 지수 평활은 각 기간에서의 수준 성분과 추세 성분을 사용합니다. 이중 지수 평활은 두 개의 가중치(평활화 모수라고도 함)를 사용하여 각 기간의 성분을 업데이트합니다. 이중 지수 평활 방정식은 다음과 같습니다.

공식

L_t= αY_t+ (1 – α) [L_t–1 + T_t–1]

T_t= γ [L_t – L_t–1] + (1 – γ) T_t–1

= L_t−1 + T_t−1

첫 번째 관측치에는 번호 1이 매겨진 경우 시간 0에서의 수준 및 추세 성분 추정치가 초기화되어야 계속할 수 있습니다. 평활값을 얻는 방법을 결정하는 데 사용되는 초기화 방법에는 두 가지가 있습니다. 한 가지는 최적 가중치를 사용하는 방법이고 다른 한 가지는 지정된 가중치를 사용하는 방법입니다.

표기법

용어	설명
Lt	시간 t에서의 수준 성분
α	수준 성분에 대한 가중치
Tt	시간 t에서의 추세
γ	추세에 대한 가중치
Yt	시간 t에서의 데이터 값
	시간 t에 대한 예측값

최적 ARIMA 가중치

지정된 가중치

같은 근의 ARIMA(0, 2, 2) 모형에 해당하는 가중치를 지정할 경우 Holt의 방법은 Brown의 방법으로 세분화됩니다¹.

수준 및 추세에 대한 초기 값을 계산하는 방법

통계분석 > 시계열 > 이중 지수 평활은(는) 수준 및 추세에 대한 추정치를 저장할 수 있습니다. Minitab은 대화 상자에서 지정한 옵션에 따라 다음 방법 중 하나를 사용하여 이러한 열의 첫 번째 행의 값을 계산합니다.

이중 지수 평활에서 최적 ARIMA 옵션을 선택하면 Minitab은 다음 방법을 사용하여 수준 및 추세의 첫 번째 값을 계산합니다. 이러한 단계를 수작업으로 수행할 수 있습니다.

1. 통계분석 > 시계열 > ARIMA을(를) 선택한 다음 ARIMA를 사용하여 최적의 가중치 값을 계산합니다. 다음과 같이 대화 상자를 완료합니다.
   1. 자기회귀에 0을 입력합니다.
   2. 차분에 2을 입력합니다.
   3. 이동 평균[MA]에 2을 입력합니다.
   4. 모형에 상수 항 포함을(를) 선택 해제합니다.
   5. 저장을(를) 클릭하고 잔차을(를) 선택합니다. 각 대화 상자에서 확인를 클릭합니다.
2. Minitab은 ARIMA 출력의 MA 값을 사용하여 다음과 같이 최적의 가중치를 계산합니다.
   
   

3. 그런 다음 Minitab은 이후 관측치의 데이터를 사용하여 초기 관측치로 다시 계산합니다.
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   설명:

   용어	설명
   pi	번째 평탄한 관측치의 예측 값
   xi	번째 시계열의 관측치 의 값
   ei	위의 ARIMA로부터 저장된 번째 잔류물의 값

4. Minitab은 수준(L1)의 초기 값을 계산합니다.
   

5. Minitab은 추세(T1)의 초기 값을 계산합니다.
   

이중 지수 평활에서는 수준 및 추세 성분을 사용하여 예측값을 생성합니다. 시간 t인 지점에서 m기간 이후에 대한 예측값은 다음과 같습니다.

공식

L_t + mT_t

평활에는 예측시점 시간까지의 데이터가 사용됩니다.

표기법

공식

표기법

용어	설명
β	max{α, γ)
δ	1 – β
α	수준 평활화 상수
γ	추세 평활화 상수
τ
b0(T)
b1(T)

평균 절대 백분율 오차(MAPE)는 적합된 시계열 값의 정확도를 측정합니다. MAPE는 정확도를 백분율로 표시합니다.

공식

표기법

용어	설명
yt	시간 t에서의 실제 값
	적합치
n	관측치 수

평균 절대 편차(MAD)는 적합된 시계열 값의 정확도를 측정합니다. MAD는 데이터와 같은 단위로 정확도를 표시하여 오차의 양을 개념화하는 데 사용됩니다.

공식

표기법

용어	설명
yt	시간 t에서의 실제 값
	적합치
n	관측치 수

평균 제곱 편차(MSD)는 모형에 관계없이 항상 동일한 분모 n을 사용하여 계산됩니다. MSD는 매우 큰 예측 오차에 대해 MAD보다 더 민감한 측도입니다.

공식

표기법

용어	설명
yt	시간 t에서의 실제 값
	적합치
n	관측치 수