비선형 회귀 분석의 모수 추정치에 대한 방법 및 공식

모수를 변환하여 모수 제한 조건을 적용합니다.¹

조건	결과
a < θ	θ = a + exp( φ )
θ < b	θ = b - exp( φ )
a < θ < b	θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))

용어	설명
a와 b	숫자형 상수
θ's	모수
φ	변환된 모수

Minitab에서는 이런 변환을 수행하고 결과를 원래 모수의 항에 표시합니다.

1. Bates and Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.

θ_p 추정치의 근사 표준 오차는 S 곱하기 다음의 대각 원소 p의 제곱근입니다. 이는 다음과 같이 기록됩니다.

여기서 e_p는 원소 p가 1이고 기타 모든 원소가 0인 P x 1 벡터입니다. Minitab에서는 다음을 계산합니다.

계산을 위해 다음을 후진대입합니다.

표기법

용어	설명
n	n 번째 관측치
N	총 관측치 수
p	자유(잠금 해제된) 모수의 수
R	마지막 반복에 대한 Vi의 QR 분해에서 얻은 (상단 삼각형) R 행렬
V0	경사 행렬 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), f(x0, θ)의 부분 도함수의 P x 1 벡터, θ에서 평가됨*
S

모수 추정치의 근사 분산-공분산 행렬은 다음과 같습니다.

θ_p 및 θ_q 추정치 간 근사 상관은 다음과 같습니다.

R가 삼각형이기 때문에 Minitab에서는 범용 역산 알고리즘 대신 후진대입을 통해 역행렬을 구할 수 있습니다.

표기법

용어	설명
R	마지막 반복에 대한 Vi의 QR 분해에서 얻은 (상단 삼각형) R 행렬
P	자유(잠금 해제된) 모수의 수
v0	경사 행렬 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), f(x0, θ)의 부분 도함수의 P x 1 벡터, θ에서 평가됨*
θ	모수

θ = (θ₁, . . . . θ_p)고* θ*가 θ의 마지막 반복인 경우,

우도 기반 100 (1 - α) % 신뢰 한계는 다음을 충족합니다.

여기서 S( θ_p )는 θ_p를 일정하게 유지하고 나머지 모수에 대해 최소화할 경우에 얻어지는 SSE입니다.¹ 이것은 다음을 구하는 것과 같습니다.

S(θ_p) = S(θ*) + (t_α/2)² MSE

표기법

용어	설명
θ	모수
n	n 번째 관측치
N	총 관측치 수
P	자유(잠금 해제된) 모수의 수
tα/2	자유도가 N – P인 t 분포의 상위 α/2 점
S(θ)	제곱 오차의 합
MSE	평균 제곱 오차