제곱합 정의
제곱합은 변동의 측정이나 평균의 편차를 나타냅니다. 제곱합은 평균과의 차이 제곱합으로 계산됩니다. 총 제곱합 계산에서는 요인의 제곱합과 랜덤성 또는 오차의 제곱합을 모두 고려합니다.
분산 분석의 제곱합
분산 분석에서 총 제곱합은 다양한 요인의 원인이 될 수 있는 총 분산을 표시합니다. 예를 들어 세 가지 세제의 효과를 검사하기 위한 실험을 하려고 합니다.
총 제곱합 = 처리 제곱합(SST) + 잔차 오차의 제곱합(SSE)
처리 제곱합은 원인이 되는 변동이거나 이 경우 세제 간의 변동입니다. 잔차 오차의 제곱합은 오차의 원인이 되는 변동입니다.
자유도로 나누어 제곱합을 평균 제곱합으로 변환하면 이 비율을 비교하고 세제로 인한 유의한 차이가 있는지 여부를 확인할 수 있습니다. 이 비율이 클수록 처리가 결과에 더 많은 영향을 미칩니다.
회귀 분석의 제곱합
회귀 모형에서 총 제곱합은 y의 총 변동을 표시합니다. 예를 들어, 전체 매출을 광고 예산의 함수로 설명하는 모형을 결정하기 위해 데이터를 수집합니다.
총 제곱합 = 회귀 제곱합(SSR) + 잔차 오차의 제곱합(SSE)
회귀 제곱합은 x 및 y 사이의 관계, 또는 이 경우 광고 예산과 매출 사이의 관계의 원인이 되는 변동입니다. 잔차 오차의 제곱합은 오차의 원인이 되는 변동입니다.
회귀 제곱합을 총 제곱합과 비교하여 회귀 모형(R2, 결정 계수)에서 설명하는 총 변동의 비율을 찾습니다. 이 값이 클수록 관계에서 매출을 광고 예산의 함수로 더 잘 설명합니다.
순차 제곱합과 수정 제곱합의 비교
- 순차 제곱합
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순차 제곱합은 모형에 요인을 입력한 순서에 따라 다릅니다. 이전에 요인을 입력한 경우 SS 회귀 분석에서 한 요인만으로 설명되는 부분을 나타냅니다.
예를 들어 X1, X2, X3 등 요인이 세 개인 모형의 경우 X2의 순차 제곱합은 X1이 모형에 이미 포함된 상태에서 X2에 의해 설명되는 분산의 정도를 나타냅니다. 요인의 다른 순서를 얻으려면 다른 순서로 요인을 입력하는 회귀 분석 절차를 반복합니다.
- 수정 제곱합
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수정 제곱합은 요인들을 모형에 입력하는 순서에 의존하지 않습니다. 요인들을 모형에 입력한 순서에 관계없이 다른 모든 요인이 주어진 경우 수정 제곱합은 SS 회귀 분석에서 한 요인만으로 설명되는 부분을 나타냅니다.
예를 들어 X1, X2, X3 등 요인이 세 개인 모형의 경우 X2의 수정 제곱합은 X1과 X3도 모형에 포함된 상태에서 X2에 의해 설명되는 분산의 정도를 나타냅니다.
순차 제곱합과 수정 제곱합이 같아지는 경우
모형의 마지막 항에 대해서는 순차 제곱합과 수정 제곱합이 항상 같습니다. 예를 들어, 모형에 A, B, C 항이 (이 순서로) 포함되어 있는 경우 C에 대한 순차 제곱합과 수정 제곱합은 모두 A와 B가 모함된 모형에 C를 추가할 때 발생한 잔차 오차의 제곱합 감소를 나타냅니다.
설계 행렬이 직교인 경우에는 모든 항에 대해 순차 제곱합과 수정 제곱합이 같습니다. 요인 및 부분 요인 설계를 (공변량 없이) 코드화된 단위로 분석하는 경우 이런 문제가 가장 많이 발생합니다. 이 설계에서 모든 주효과 및 교호작용에 대한 설계 행렬의 열이 서로 직교합니다. Plackett-Burman 설계에는 주효과에 대한 직교 열(일반적으로 모형의 유일한 항)이 있지만 교호작용은 (있을 경우) 다른 항과 부분 교락될 수 있습니다(직교하지 않음). 반응 표면 설계에서 제곱 항에 대한 열은 서로 직교하지 않습니다.
설계에 상관없이 설계 행렬이 코드화되지 않은 단위이면 요인 수준의 중심이 0에 위치하지 않을 경우 직교하지 않는 열이 있을 수 있습니다.
수정 제곱합이 순차 제곱합보다 작거나, 순차 제곱합과 같거나, 순차 제곱합보다 클 수 있습니까?
수정 제곱합은 순차 제곱합보다 작거나, 순차 제곱합과 같거나, 순차 제곱합보다 클 수 있습니다.
A, B, C, A*B 항이 포함된 모형을 적합한다고 가정합니다. 모형에 A, B, C, A*B가 있을 때 SS(A,B,C, A*B)를 제곱합으로 설정합니다. A, B, C가 모형에 포함되어 있는 경우에는 SS(A, B, C)를 제곱합으로 설정합니다. 이 경우 A*B에 대한 수정 제곱합은 다음과 같습니다.
SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C)
그러나 동일한 항 A, B, C, A*B가 모형에 있는 경우 A*B에 대한 순차 제곱합은 모형에 지정된 항의 순서에 따라 달라집니다.
유사한 표기법을 사용하여 순서가 A, B, A*B, C인 경우 A*B에 대한 순차 제곱합은 다음과 같습니다.
SS(A, B, A*B) - SS(A, B)
- SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C) < SS(A, B, A*B) - SS(A, B) 또는
- SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C) = SS(A, B, A*B) - SS(A, B) 또는
- SS(A, B, C, A*B) - SS(A, B, C) > SS(A, B, A*B) - SS(A, B)
수정되지 않은 제곱합의 정의
열의 각 값을 제곱한 다음 제곱 값의 합을 계산합니다. 즉, 열에 x1, x2, ... , xn이 있으면 제곱합은 (x12 + x22+ ... + xn2)으로 계산됩니다. 수정 제곱합과 달리 수정되지 않은 제곱합에는 오차가 포함됩니다. 데이터 값은 먼저 평균을 빼지 않은 제곱입니다.
Minitab에서는 기술 통계량을 사용하여 미보정 제곱합을 표시할 수 있습니다. 계산기에서 제곱합(SSQ) 함수를 사용하여 열 또는 행에 대한 미보정 제곱합을 계산할 수도 있습니다. 예를 들어, 직접 공식을 계산하고 반응(y) 변수 집합에 대한 제곱합을 얻고자 합니다.
계산기에 다음 식을 입력합니다. SSQ (C1)
미보정 제곱합을 보려면 결과를 C2에 저장합니다. 다음 워크시트는 계산기를 사용하여 y 열의 제곱합을 계산한 결과를 보여줍니다.
| C1 | C2 |
|---|---|
| y | 제곱합 |
| 2.40 | 41.5304 |
| 4.60 | |
| 2.50 | |
| 1.60 | |
| 2.20 | |
| 0.98 |
참고
Minitab에서는 결측값을 이 함수의 계산에서 제외합니다.
