분산 분석 모형의 계수 부족 및 완전 계수

각 요인 수준 조합에 대해 모형에 포함된 모든 항을 추정하는 데 적절한 수의 관측치가 있을 때 선형 모형은 완전 계수입니다. 데이터에 모형을 적합하기에 충분한 수의 관측치가 없는 경우 Minitab에서는 모형이 적합하기에 충분히 작을 때까지 항을 제거합니다. 다른 모형이 데이터를 더 잘 적합할 수도 있습니다.

2-요인 GLM 모형의 경우를 가정합니다. A B 및 A*B 항을 포함하는 모형을 적합시키려고 하는 데 "계수 부족" 오류가 발생합니다. 즉, 요인 수준 조합당 관측치가 충분하지 않음을 나타냅니다. 교호작용 항(A*B)을 제거해 보십시오.

계수 부족은 Minitab에서 행렬 계산을 수행할 수 없는 상태입니다. 예를 들어, 예측 변수가 2개이고 반응 변수가 1개인 다음 데이터 집합을 고려해 보십시오.

X1과 X2는 예측 변수이고 Y는 반응 변수입니다. Minitab의 회귀 분석에서는 최소 제곱법을 사용하여 다음과 같은 선형 방정식의 추정된 계수 b₀, b₁, b₂를 계산합니다.

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂

최소 제곱 절차는 행렬 방정식의 집합을 푸는 것과 동일합니다.

b = (X^TX)^-1X^TY

여기서 b는 추정된 모형 계수가 포함된 열 벡터이고 X는 첫 번째 열이 절편/상수를 추정하는 데 사용되는 1의 열이며 나머지 열은 예측 변수 데이터(X1, X2,…)의 열인 행렬이고, Y는 반응 데이터의 열 벡터입니다. 이전 데이터 집합의 경우 행렬은 다음과 같습니다.

Minitab에서는 QR 분해를 사용하여 모수(b₀, b₁, b₂)의 추정치 및 모수의 표준 편차를 계산합니다. 계산은 (X^TX) 행렬의 고유값에 의존합니다. (X^TX)의 일부 고유값이 본질적으로 0인 경우 정방 행렬 (X^TX)는 비정칙이거나 비정칙에 가까우며, Minitab에서는 계산을 수행할 수 없습니다.

계수 부족은 X 변수 열을 다른 X 열의 선형 조합으로 작성할 수 있는 경우 발생합니다. 다음은 C1, C2, C3을 예측 변수(X)로 사용한 두 가지 예입니다.

예 1

예 2

첫 번째 예에서 C1 + C2 = C3입니다.

두 번째 예에서 2*C1 = C2입니다.

이러한 예측 변수를 사용하여 회귀 분석(또는 분산 분석)을 수행하려는 경우 Minitab에서는 분석을 수행하기 위해 모형에서 항을 제거합니다.

범주형 데이터의 경우에도 계수 부족이 발생할 수 있습니다.

예 3

이 예에서는 기계 열의 패턴이 조작자 열의 패턴과 정확히 같습니다. 이 데이터 집합을 사용하여 분산 분석을 수행하는 경우 Minitab에서는 분석을 수행하기 위해 모형에서 항을 제거합니다.