분산에서 요인을 구분하여 혼합 효과 모형의 로그 우도를 계산하는 H(θ)의 표현을 찾을 수 있습니다.
V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]
표기법
용어
설명
θi
, 랜덤 항의 분산의 오차 분산에 대한 비율
로그 우도
모형에 변량 요인이 포함된 경우 기본적으로 알 수 없는 모수의 추정치는 제한된 로그 우도 함수의 음수를 두 번 최소화하여 얻어집니다. 최소화는 제한된 로그 우도 함수를 최대화하는 것과 동일합니다. Minitab에서는 반복 알고리즘을 사용하여 제한된 로그 우도 함수를 최소화합니다. 최소화하기 위한 함수는 다음과 같습니다.
표기법
용어
설명
H
In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|
H(θ)의 행렬식
H-1
H의 역
mi
랜덤 항의 수준 수
오차 분산 성분
In
행과 열이 n개인 단위 행렬
REML(Restricted Maximum Likelihood) 추정
기본적으로 Minitab에서는 제한된 우도 함수를 최대화하는, 즉 다음 함수를 최소화하는 모수 추정치를 계산합니다.
함수를 최소화하기 위해 Minitab에서는 β, σ2 및 θi에 대하여 함수를 미분하고 차이를 0으로 설정합니다.
설명:
미분에 대하여 추정된 모수를 계산하기 위해 처음 두 방정식을 대수적으로 다시 배열하면 다음과 같은 방정식이 생성됩니다.
에 대한 도함수는 를 명시적으로 계산할 수 없습니다. Minitab에서는 Newton의 방법을 사용하여 다음과 같은 단계로 을 추정합니다.
분산 성분의 Minimum Norm Quadratic Unbiased Estimates (MINQUE)12을 사용하여 σ2 및 θi의 초기 값을 구성합니다.
β 및 σ2을 및 에 대한 방정식을 사용하여 추정합니다.
L(β, σ2, θ)를 최소화하는 Newton의 방법을 사용하여 θi를 찾습니다.
수렴할 때까지 2단계와 3단계를 반복합니다.
에 대해 수렴된 해는 분산 비율 추정치입니다. 랜덤 항에 대한 분산 성분은 다음과 같습니다.
표기법
용어
설명
tr(·)
행렬의 궤적
X'
X의 전치
1 Rao, C.R. (1971 a). Estimation of variance covariance components - MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b). Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456
랜덤 항에 대한 n x m 설계 행렬
)의 독립 변수의 mi x 1 벡터
)의 독립 변수의 n x 1 벡터
, 
랜덤 항의 분산의 오차 분산에 대한 비율
랜덤 항의 수준 수
에 대한 도함수는 
를 명시적으로 계산할 수 없습니다. Minitab에서는 Newton의 방법을 사용하여 다음과 같은 단계로 
을 추정합니다.
에 대해 수렴된 해는 분산 비율 추정치입니다. 
랜덤 항에 대한 분산 성분은 다음과 같습니다.
