Friedman 검정에 대한 방법 및 공식

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검정 통계량은 연관된 자유도가 (k - 1)인 근사 카이-제곱(χ2) 분포를 갖습니다. 하나 이상의 블럭 내 데이터에 같은 값이 있는 경우, Minitab에서는 평균 순위를 사용하여 같은 값에 대해 수정된 검정 통계량을 출력합니다. 이 방법에 대한 자세한 내용은 M. Hollander and D.A. Wolfe (1973)1를 참조하십시오.

공식

Minitab에서는 카이-제곱 검정 통계량을 계산하기 위해 각 블럭 내에서 개별적으로 데이터에 순위를 매기고 각 처리에 대해 순위를 합합니다.

데이터에 같은 값이 없는 경우 공식은 다음과 같습니다.

데이터에 같은 값이 있는 경우 공식은 다음과 같습니다.

여기서 C는 수정 요인으로, 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
j1, 2, ..., k
k처리 조건 수
n블럭 수
Rj처리 j에 대한 순위의 합
i1, 2, ..., m
m같은 값의 집합 수
tii번째 같은 값 집합의 같은 점수 수
  1. M. Hollander and D.A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc.

총 중위수

처리 효과, 블럭 중위수 및 총 중위수를 계산하는 방법을 이해하려면 다음 데이터를 고려하십시오.

  블럭
처리 1 2 3 4
1 0.15 0.26 0.23 0.99
2 0.55 0.26 −0.22 0.99
3 0.55 0.66 0.77 0.99

처리 효과를 계산하려면(Doksum 방법1) 먼저 처리 쌍 간의 차이의 중위수를 찾으십시오. 처리 1 - 처리 2에 대한 데이터 쌍들의 차이는 0.15 - 0.55 = −0.4, 0.26 – 0.26 = 0, 0.23 – (−0.22) = 0.45, 0.99 – 0.99 = 0입니다. 차이의 중위수는 0입니다. 다른 두 쌍에 대해 이 계산을 수행하면 처리 1 - 처리 3의 경우 −0.4, 처리 2 - 처리 3의 경우 −0.2입니다.

각 처리의 효과는 해당 처리와 (해당 처리를 포함한) 모든 다른 처리 차이의 중위수의 평균입니다. 이 예의 데이터인 경우 효과(2) = [중위수 (2 – 1) + 중위수 (2 – 2) + 중위수 (2 – 3)]/3 = (0.00 + 0.00 – 0.20)/3 = −0.0667입니다. 마찬가지로 효과(1) = −0.1333이고 효과(3) = 0.20입니다.

수정된 블럭 중위수를 계산하려면 관측치에서 적절한 처리 효과를 빼서 각 관측치를 수정하십시오. 수정된 블럭 중위수는 각 블럭 내에서 계산된, 이렇게 수정된 데이터의 중위수입니다. 총 중위수는 수정된 블럭 중위수의 중위수입니다. 각 처리 수준에 대한 추정 중위수는 처리 효과에 총 중위수를 더한 값입니다.

  1. M. Hollander and D.A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc., pp. 158 – 161.

같은 값 순위매기기

같은 값은 두 개 이상의 관측치가 같을 때 발생합니다. 데이터에 같은 값이 있는 경우, Minitab에서는 다음과 같이 데이터에 순위를 매깁니다.
  1. 괸측치를 오름차순으로 정렬합니다.
  2. 같은 값이 없는 것처럼 각 관측치에 순위를 지정합니다.
  3. 같은 값의 집합인 경우, 해당하는 순위의 평균을 계산하여 이 값을 해당 집합에 있는 각 같은 값에 새 순위로 지정합니다.

표본에 2.4, 5.3, 2.4, 4.0, 1.2, 3.6, 4.0, 4.3, 4.0의 9개 관측치가 있습니다.

관측치 순위(같은 값이 없는 것으로 가정) 순위
1.2 1 1
2.4 2 2.5
2.4 3 2.5
3.6 4 4
4.0 5 6
4.0 6 6
4.0 7 6
4.3 8 8
5.3 9 9

다음 정보는 검정 통계량을 계산할 경우에도 사용됩니다.
  • 같은 값의 집합 수 = 2
  • 첫 번째 집합의 같은 값 수 = 2
  • 두 번째 집합의 같은 값 수 = 3
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