단일 표본 분산 검정에 대한 방법 및 공식

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표준 편차

표준 편차는 산포, 즉 데이터가 평균을 중심으로 퍼져 있는 정도를 나타내는 가장 일반적인 측도입니다. 표본 표준 편차는 표본 분산의 제곱근입니다.

열에 x1, x2,..., xN이 포함되어 있고 평균이 인 경우 표준 편차는 다음과 같이 계산됩니다.

표기법

용어설명
xi표본의 i번째 관측치
표본 평균
S표본 표준 편차
n표본 크기

분산

분산은 데이터가 평균 주위에 분산된 정도를 측정합니다. 분산은 표준 편차의 제곱과 같습니다.

공식

표기법

용어설명
xii번째 관측치
관측치의 평균
N비결측 관측치 수

카이-제곱 방법에 대한 신뢰 구간 및 한계

데이터가 정규 분포를 따르는 경우 이 방법을 사용합니다. 이 방법은 비정규 데이터에 대해서는 표본 크기가 아주 큰 경우에도 정확하지 않습니다.

신뢰 구간

모집단 표준 편차에 대한 100(1 - α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.
모집단 분산에 대한 100(1 - α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

신뢰 한계

단측 검정을 지정하는 경우 Minitab에서는 대립 가설의 방향에 따라 단측 100(1–α)% 신뢰 한계를 계산합니다.

  • "보다 큼" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 100(1–α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

    모집단 분산에 대한 100(1–α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.

  • "보다 작음" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 100(1–α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

    모집단 분산에 대한 100(1–α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

표기법

용어설명
α100(1 – α)% 신뢰 구간에 대한 알파 수준
n표본 크기
S2표본 분산
Χ2(p)자유도가 (n – 1)인 카이-제곱 분포의 상위 100p번째 백분위수 점
σ실제 모집단 표준 편차 값
σ2실제 모집단 분산 값

Bonett 방법에 대한 신뢰 구간 및 한계

계량형 데이터(정규 또는 비정규)의 경우 이 방법을 사용합니다. 1

신뢰 구간

모집단 표준 편차에 대한 100(1-α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.
모집단 분산에 대한 100(1-α)% 신뢰 구간은 다음과 같이 계산됩니다.

신뢰 한계

단측 검정을 지정하는 경우 Minitab에서는 대립 가설의 방향에 따라 단측 100(1–α)% 신뢰 한계를 계산합니다.

  • "보다 큼" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 100(1–α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.
    모집단 분산에 대한 근사 100(1-α)% 하한은 다음과 같이 계산됩니다.
  • "보다 작음" 대립 가설을 지정하는 경우 모집단 표준 편차의 근사 100(1–α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.
    모집단 분산에 대한 근사 100(1-α)% 상한은 다음과 같이 계산됩니다.

표기법

용어설명
α 1 – 신뢰 수준 / 100
cα/2 n / (nzα/2)
cα n / (nzα )
s2 표본 분산의 관측치
zα/2 1 – α/2에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률. n이 zα/2보다 작거나 같은 경우 Minitab에서는 Bonett 신뢰 구간을 계산하지 않습니다.
zα 1 – α에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률. n이 zα보다 작거나 같은 경우 Minitab에서는 Bonett 신뢰 구간을 계산하지 않습니다.
se
= 추정 초과 첨도
m 절사 비율이 다음과 같은 절사 평균 ; n이 5보다 작거나 같은 경우 m = 표본 평균
σ 실제 모집단 표준 편차 값
σ2 실제 모집단 분산 값

카이-제곱 방법에 대한 가설 검정

데이터가 정규 분포를 따르는 경우 이 방법을 사용합니다. 이 방법은 비정규 데이터에 대해서는 표본 크기가 아주 큰 경우에도 정확하지 않습니다.

공식

가설 검정은 각 대립 가설에 대해 다음과 같은 p-값 방정식을 사용합니다.

H1: σ2 > σ02: p-값 = P(Χ2x2)

H1: σ2 < σ02: p-값 = P(Χ2x2)

H1: σ2σ02: p-값 = 2 × min{P(Χ2x2), P(Χ2x2)}

표기법

용어설명
σ2실제 모집단 분산 값
σ02귀무 가설에서의 모집단 분산 값
Χ2σ2 = σ02일 때 자유도가 (n – 1)인 카이-제곱 분포를 따릅니다.
x2
용어설명
S2표본 분산의 관측치
n표본 크기

Bonett 방법에 대한 가설 검정

계량형 데이터(정규 또는 비정규)의 경우 이 방법을 사용합니다.

공식

Bonett 절차는 검정 통계량과 연관성이 없습니다. 그러나 Minitab에서는 신뢰 구간에 의해 정의된 기각 영역을 사용하여 p-값을 계산합니다.

양측 가설의 경우 p-값은 다음과 같이 계산됩니다.

p = 2 × min(αL, αU)

  • 단측 "보다 작음" 대립 가설의 경우 p-값은 표기법에서 α/2를 α로 대치한 후 αU로 계산됩니다.
  • 단측 "보다 큼" 대립 가설이 경우 p-값은 표기법에서 α/2를 α로 대치한 후 αL로 계산됩니다.

표기법

용어설명
σ02귀무 가설에서의 분산
αL다음 방정식의 가장 작은 해 α
αU다음 방정식의 가장 작은 해 α
cα/2n / (nzα/2)
α1 – 신뢰 수준 / 100
s2표본 분산의 관측치
zα/21 – α/2에서 표준 정규 분포의 역 누적 확률. n이 zα/2보다 작거나 같은 경우 Minitab에서는 Bonett 신뢰 구간을 계산하지 않습니다.
se
용어설명
= 추정 초과 첨도
m절사 비율이 다음과 같은 절사 평균 ; n이 5보다 작거나 같은 경우 m = 0
1 D.G. Bonett (2006). "Approximate confidence interval for standard deviation of nonnormal distributions" , Computational Statistics & Data Analysis, 50, 775-782.
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