회귀 모형 적합의 분산 분석 방법 및 공식

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제곱합(SS)

행렬 항에서 여러 제곱합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

Minitab에서는 SS 회귀 분석 또는 SS 처리 성분을 순차 제곱합과 수정 제곱합을 모두 사용하여 각 항에 의해 설명되는 변동량으로 세분화합니다.

표기법

용어설명
b계수의 벡터
X설계 행렬
Y반응 값의 벡터
n관측치 수
J1의 n x n 행렬

순차 제곱합

Minitab에서는 변동의 SS 회귀 분석 또는 처리 성분을 각 요인의 순차 제곱합으로 세분화합니다. 순차 제곱합은 모형에 요인 또는 예측 변수를 입력한 순서에 따라 다릅니다. 순차 제곱합은 이전에 요인을 입력한 경우 SS 회귀 분석에서 한 요인만으로 설명되는 부분을 나타냅니다.

예를 들어 X1, X2, X3 등 요인 또는 예측 변수가 세 개인 모형의 경우 X2의 순차 제곱합은 X1이 모형에 포함된 상태에서 X2에 의해 설명되는 분산의 정도를 나타냅니다. 요인의 다른 순서를 얻으려면 분석을 반복하고 다른 순서로 요인을 입력합니다.

자유도(DF)

모형의 각 구성 요소에 대한 자유도는 다음과 같습니다.

변동 출처 DF
회귀 분석 p
오류 n – p – 1
합계 n – 1

데이터가 특정 기준을 충족하고 모형에 하나 이상의 계량형 예측 변수나 둘 이상의 범주형 예측 변수가 포함된 경우, Minitab은 적합성 결여 검정에 자유도를 사용합니다. 기준은 다음과 같습니다.
  • 데이터에는 예측 변수 값이 같은 관측치가 여러 개 있습니다.
  • 데이터에는 모형에 없는 추가 항을 추정하기 위한 올바른 점이 있습니다.

표기법

용어설명
n 관측치 수
p 모형의 계수 수(상수 제외)

Adj MS – 회귀 분석

회귀 분석의 평균 제곱(MS)에 대한 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
평균 반응
i번째 적합 반응
p모형의 항 수

Adj MS – 오차

오차의 평균 제곱(MS 오차 또는 MSE로 줄이고 s2로 표기함)은 적합 회귀선 주변의 분산입니다. 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
yii번째 관측된 반응 값
ith번째 적합 반응
n관측치 수
p상수를 제외한 모형 내 계수의 수

Adj MS – 합계

평균 제곱(MS) 합계 공식은 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
평균 반응
yii번째 관측 반응 값
n관측치 수

F-값

F-통계량 공식은 다음과 같습니다.

F(회귀분석)
F(항)
F(적합성 결여)

표기법

용어설명
MS 회귀 분석현재 모형이 설명하는 반응 변동의 측도.
MS 오차모형이 설명하지 않는 변동의 측도.
MS 항모형의 나머지 항을 고려한 후 항이 설명하는 변동 양의 측도.
MS 적합성 결여모형에 더 많은 항을 추가하여 모형화할 수 있는 반응의 변동 측도.
MS 순수 오차반복된 반응 데이터의 변동 측도.

p-값 - 분산 분석표

모형에 대한 전체 p-값은 상수 계수를 제외하고 모형에 있는 모든 계수가 0이라는 귀무 가설의 검정에 대한 것입니다. p-값은 자유도(DF)가 다음과 같은 F-분포에서 계산되는 확률입니다.

분자 DF
검정의 항에 대한 자유도의 합
분모 DF
오차에 대한 자유도

공식

1 − P(Ffj)

표기법

용어설명
P(Ff)F-분포의 누적분포함수
f검정에 대한 f-통계량

순수 오차 적합성 결여 검정

순수 오차 적합성 결여 검정을 계산하기 위해 Minitab은
  1. 반복실험의 각 집합 내 평균으로부터 반응의 제곱 편차의 합을 계산한 다음 더하여 순수 오차 제곱합(SS PE)을 생성합니다.
  2. 순수 오차 평균 제곱

    여기서 n = 관측치의 수이고 m = 고유한 x-수준 조합의 수입니다.

  3. 적합성 결여 제곱합
  4. 적합성 결여 평균 제곱
  5. 검정 통계량

큰 F-값과 작은 p-값은 모형이 적절하지 않다는 것을 나타냅니다.

p-값 - 적합성 결여 검정

이 p-값은 이러한 데이터에서 추정할 수 있는 모형에 없는 모든 항에 대한 계수가 0이라는 귀무 가설의 검정에 대한 것입니다. p-값은 자유도(DF)가 다음과 같은 F 분포의 확률입니다.
분자 DF
적합성 결여 검정의 자유도
분모 DF
순수 오차에 대한 자유도

공식

1 − P(Ffj)

표기법

용어설명
P(Ffj)F-분포의 누적분포함수
fj검정에 대한 f-통계량
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