변동성 분석의 모형 정보에 대한 방법 및 공식

방법

Minitab에서는 최소 제곱과 최대우도 두 가지 방법을 사용하여 반복측정 또는 반복실험 측정값의 표준 편차를 분석합니다. 두 방법 모두 로그 연결 함수, ln(σ) = Aγ를 사용하는 선형 모형을 기반으로 하며, 여기서 A는 설계 행렬이고 γ는 추정할 모수의 벡터입니다. 로그 연결 함수를 사용하는 방법의 한 가지 장점은 적합치가 항상 양수라는 것입니다.

모수의 수가 데이터 점 수와 같은 포화 모형에서는 두 방법의 결과가 같습니다.

최소 제곱 추정 방법의 경우 Minitab에서는 가중 최소 제곱 회귀 분석을 사용합니다. 반복측정 또는 반복실험 횟수가 같으면 가중치가 같습니다.

최대우도 추정 방법에서는 원래 데이터가 정규 분포를 따른다는 가정을 세웁니다. 표본 분산의 분포는 χ2 분포와 관련이 있습니다.

설계 행렬

일반 선형 모형(GLM)의 경우 회귀 분석을 사용하여 사용자가 지정한 모형을 적합하는 데 Minitab에서는 이와 동일한 방법을 설계 행렬에 사용합니다. Minitab에서는 먼저 사용자가 지정한 요인 및 모형에서 설계 행렬을 만듭니다. X라고 하는 이 행렬의 행들이 모형의 항을 나타냅니다.

설계 행렬에는 n개의 행과(여기서 n = 관측치 수) 모형의 항에 해당하는 여러 개의 열 블럭이 있습니다. 첫 번째 블럭은 상수 블럭이며 모두 1로 구성된 열 하나만을 포함하고 있습니다. 계량형 요인에 대한 블럭에도 하나의 열만 포함됩니다. 범주형 요인에 대한 열의 블럭에는 r개의 열이 포함되며, 여기서 r = 요인의 자유도입니다.

예를 들어, 한 부분 요인 설계에 수준이 2개인 요인이 3개 있습니다. 모형에는 3개의 주효과가 있습니다. 각 행은 다음 중 하나로 코드화됩니다.

블럭 요인 1 요인 2 요인 3
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 1 1 −1
1 −1 −1 1
1 1 −1 1
1 −1 1 1
1 1 1 1

효과

각 요인에 대해 추정된 효과입니다. 효과는 2-수준 모형에 대해서만 계산되며 일반 요인 모형에 대해서는 계산되지 않습니다. 요인의 효과에 대한 공식은 다음과 같습니다.

효과 = 계수 * 2

계수

회귀 방정식의 모집단 회귀 계수의 추정치입니다. 각 요인에 대해 Minitab에서는 k - 1개의 계수를 계산합니다(여기서 k는 요인의 수준 수임). 2-요인, 2-수준, 완전 요인 모형의 경우 요인 및 교호작용의 계수에 대한 공식은 다음과 같습니다.

이 2-요인, 2-수준, 완전 요인 모형에 대한 계수의 표준 오차는 다음과 같습니다.

요인이 3개 이상인 모형 또는 수준이 3개 이상인 요인에 대한 자세한 내용은 Montgomery1에서 확인하십시오.

표기법

용어설명
요인 A의 높은 수준에서 y의 평균
모든 관측치의 전체 평균
요인 B의 높은 수준에서 y의 평균
A와 B의 높은 수준에서 y의 평균
MSE평균 제곱 오차
n추정된 항에 대한 (공변량 행렬의) -1과 1의 수

가중 회귀 분석

가중 최소 제곱법은 분산이 일정하지 않은 관측치를 처리하기 위한 방법입니다. 분산이 일정하지 않으면 관측치는 다음 중 하나의 경우로 처리됩니다.

  • 큰 분산에는 상대적으로 작은 가중치를 부여해야 합니다.
  • 작은 분산에는 상대적으로 큰 가중치를 부여해야 합니다.

가중치는 각 표준 편차를 계산하기 위해 사용되는 반복측정 횟수 또는 반복실험 횟수를 반영합니다. 더 많은 데이터를 기반으로 하는 표준 편차가 더 큰 가중치를 받습니다.

추정된 계수에 대한 공식은 다음과 같습니다.
이는 가중 SS 오차를 최소화하는 것과 같습니다.

표기법

용어설명
X 설계 행렬
X' 설계 행렬의 전치
W 대각선에 가중치가 있는 n x n 행렬
Y 로그 표준 편차 값의 벡터
n관측치 수
wi i번째 관측치에 대한 가중치
yi i번째 관측치에 대한 로그 표준 편차 값
i번째 관측치에 대한 로그 표준 편차 값의 적합치

가중치 계산

위치 모형을 분석할 때 사용하기 위해 산포 모형을 기반으로 적합 또는 수정 분산을 사용하여 가중치를 계산하거나 저장할 수 있습니다.

적합 분산을 사용하는 반복실험에 대한 가중치의 경우 가중치는 적합 분산의 역수입니다.
  • 1 / 적합 분산
수정 분산을 사용하는 반복측정에 대한 가중치의 경우 가중치는 반복측정간 평균에 대한 적합 분산의 역수입니다.
  • σ2(군간) + σ2(군내) / 반복측정 횟수

"군간" 및 "군내"는 실험 런을 가리킵니다. 런 내 변동은 반복된 관측치에 대한 표준 편차를 사용하여 측정하는 값입니다. 런 간 변동은 새 런에 대한 추가 변동 원인을 가리킵니다.

여러 반복측정에 걸쳐 표준 편차를 분석하는 경우 모형을 s(군내)에 적합합니다. 반복실험이 있는 경우 Minitab에서 σ2(군간)의 추정치를 얻기 위해 σ2(군내)에 대한 모형과 반복실험 간 평균의 분산을 결합합니다. 그런 다음 산포 모형과 일치하는 평균에 대한 분산 추정치를 얻기 위해 σ2(군간)의 추정치를 σ2(군내) / 반복측정 횟수와 다시 결합합니다.

이 방법에서는 σ2(군간)이 일정하고 요인 수준에 종속되지 않는다고 가정합니다. 이 가정이 잘못된 경우에는 를 사용한 반응 사전 처리를 통해 모형을 x의 분산에 적합하여 반복실험 간의 σ2을 얻을 수 있습니다.

모형에 공변량이 있으면 반복측정에 대한 분산에서 고려해야 합니다. 적합 분산에서는 공변량을 고려할 수 없습니다.

1 D. C. Montgomery (1991) Design and Analysis of ExperimentsThird Edition, John Wiley & Sons.
이 사이트를 사용하면 분석 및 사용자 개인 컨텐츠에 대한 쿠키 사용에 동의하는 것입니다.  당사의 개인정보 보호정책을 확인하십시오