"계수 부족" 메시지 정보

각 요인 수준 조합에 대해 모형에 포함된 모든 항을 추정하는 데 적절한 수의 관측치가 있을 때 선형 모형은 완전 계수입니다. 데이터에 모형을 적합하기에 충분한 수의 관측치가 없는 경우 Minitab에서는 모형이 적합하기에 충분히 작을 때까지 항을 제거합니다. 다른 모형이 데이터를 더 잘 적합할 수도 있습니다.

2-요인 GLM 모형의 경우를 가정합니다. A B 및 A*B 항을 포함하는 모형을 적합시키려고 하는 데 "계수 부족" 오류가 발생합니다. 즉, 요인 수준 조합당 관측치가 충분하지 않음을 나타냅니다. 교호작용 항(A*B)을 제거해 보십시오.

계수 부족의 정의

계수 부족은 Minitab에서 행렬 계산을 수행할 수 없는 상태입니다. 예를 들어, 예측 변수가 2개이고 반응 변수가 1개인 다음 데이터 집합을 고려해 보십시오.

C1 C2 C3
X1 X2 Y
1.5 9.7 15.0
1.4 8.4 14.0
1.6 8.6 16.0
1.7 8.9 17.0
1.7 8.1 14.5

X1과 X2는 예측 변수이고 Y는 반응 변수입니다. Minitab의 회귀 분석에서는 최소 제곱법을 사용하여 다음과 같은 선형 방정식의 추정된 계수 b0, b1, b2를 계산합니다.

Y = b0 + b1X1 + b2X2

최소 제곱 절차는 행렬 방정식의 집합을 푸는 것과 동일합니다.

b = (XTX)-1XTY

여기서 b는 추정된 모형 계수가 포함된 열 벡터이고 X는 첫 번째 열이 절편/상수를 추정하는 데 사용되는 1의 열이며 나머지 열은 예측 변수 데이터(X1, X2,…)의 열인 행렬이고, Y는 반응 데이터의 열 벡터입니다. 이전 데이터 집합의 경우 행렬은 다음과 같습니다.

Minitab에서는 QR 분해를 사용하여 모수(b0, b1, b2)의 추정치 및 모수의 표준 편차를 계산합니다. 계산은 (XTX) 행렬의 고유값에 의존합니다. (XTX)의 일부 고유값이 본질적으로 0인 경우 정방 행렬 (XTX)는 비정칙이거나 비정칙에 가까우며, Minitab에서는 계산을 수행할 수 없습니다.

계수 부족이 발생하는 원인

계수 부족은 X 변수 열을 다른 X 열의 선형 조합으로 작성할 수 있는 경우 발생합니다. 다음은 C1, C2, C3을 예측 변수(X)로 사용한 두 가지 예입니다.

예 1

C1 C2 C3
X1 X2 X3
1 2 3
2 3 5
1.5 2.5 4

예 2

C1 C2 C3
X1 X2 X3
1 2 3
2 4 5
1.5 3 4

첫 번째 예에서 C1 + C2 = C3입니다.

두 번째 예에서 2*C1 = C2입니다.

이러한 예측 변수를 사용하여 회귀 분석(또는 분산 분석)을 수행하려는 경우 Minitab에서는 분석을 수행하기 위해 모형에서 항을 제거합니다.

범주형 데이터의 경우에도 계수 부족이 발생할 수 있습니다.

예 3

C1 C2 C3
기계 측정 시스템 반응
1 종현 15
1 종현 18
1 종현 17
2 범수 14
2 범수 15
2 범수 16

이 예에서는 기계 열의 패턴이 조작자 열의 패턴과 정확히 같습니다. 이 데이터 집합을 사용하여 분산 분석을 수행하는 경우 Minitab에서는 분석을 수행하기 위해 모형에서 항을 제거합니다.

분산 분석을 수행하는 경우 다음과 같은 이유로도 계수 부족이 발생할 수 있습니다.
  • 포함된 교호작용 항에 각 요인 수준의 조합에 대해 하나 이상의 관측치가 없습니다. 예를 들어, A의 수준이 3개, B의 수준이 4개이고 12개의 각 요인 수준 조합에 대해 하나 이상의 관측치를 포함하지 않고 A*B 교호작용 항을 모형에 포함하는 경우가 이에 해당합니다.
  • 불균형적인 내포가 있습니다.
  • 모형의 계량형 변수가 공변량으로 지정되지 않았습니다.
  • 오차에 대한 자유도가 음수입니다.
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