혼합 효과 모형 적합 방법

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혼합 효과 모형 및 로그 우도

혼합 효과 모형의 일반적인 형태

혼합 효과 모형에는 고정 효과와 랜덤 효과가 모두 포함됩니다. 혼합 효과 모형의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

표기법

용어설명
y반응 값의 n x 1 벡터
X고정 효과 항에 대한 n x p 설계 행렬, pn
β알 수 없는 모수의 p x 1 벡터
모형의 랜덤 항에 대한 n x m 설계 행렬
μiN(0, )의 독립 변수의 mi x 1 벡터
εN(0, )의 독립 변수의 n x 1 벡터
n관측치 수
p의 모수의 수
c모형에 있는 랜덤 항의 수

분산-공분산 행렬

혼합 효과 모형의 일반적인 형태에 대한 모형 가정을 기반으로 반응 벡터 y는 평균 벡터 및 다음과 같은 분산-공분산 행렬을 갖는 다변량 정규 분포를 따릅니다.

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

설명:

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c는 분산 성분이라고도 합니다.

분산에서 요인을 구분하여 혼합 효과 모형의 로그 우도를 계산하는 H(θ)의 표현을 찾을 수 있습니다.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

표기법

용어설명
θi, 랜덤 항의 분산의 오차 분산에 대한 비율

로그 우도

모형에 변량 요인이 포함된 경우 기본적으로 알 수 없는 모수의 추정치는 제한된 로그 우도 함수의 음수를 두 번 최소화하여 얻어집니다. 최소화는 제한된 로그 우도 함수를 최대화하는 것과 동일합니다. Minitab에서는 반복 알고리즘을 사용하여 제한된 로그 우도 함수를 최소화합니다. 최소화하기 위한 함수는 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
HIn + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|H(θ)의 행렬식
H-1H의 역
mi 랜덤 항의 수준 수
오차 분산 성분
In행과 열이 n개인 단위 행렬

REML(Restricted Maximum Likelihood) 추정

기본적으로 Minitab에서는 제한된 우도 함수를 최대화하는, 즉 다음 함수를 최소화하는 모수 추정치를 계산합니다.
함수를 최소화하기 위해 Minitab에서는 β, σ2θi에 대하여 함수를 미분하고 차이를 0으로 설정합니다.

설명:

미분에 대하여 추정된 모수를 계산하기 위해 처음 두 방정식을 대수적으로 다시 배열하면 다음과 같은 방정식이 생성됩니다.
에 대한 도함수는 를 명시적으로 계산할 수 없습니다. Minitab에서는 Newton의 방법을 사용하여 다음과 같은 단계로 을 추정합니다.
  1. 분산 성분의 Minimum Norm Quadratic Unbiased Estimates (MINQUE)12을 사용하여 σ2θi의 초기 값을 구성합니다.
  2. βσ2에 대한 방정식을 사용하여 추정합니다.
  3. L(β, σ2, θ)를 최소화하는 Newton의 방법을 사용하여 θi를 찾습니다.
  4. 수렴할 때까지 2단계와 3단계를 반복합니다.
에 대해 수렴된 해는 분산 비율 추정치입니다. 랜덤 항에 대한 분산 성분은 다음과 같습니다.

표기법

용어설명
tr(·)행렬의 궤적
X'X의 전치
1 Rao, C.R. (1971 a). Estimation of variance covariance components - MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b). Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456
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