中心極限定理のデモンストレーション

マクロの実行

マクロを実行するには、ビュー > コマンドライン/履歴を選択し、次のコマンドを入力します。

%CLT

実行をクリックします。

中心極限定理は、有限平均がmu(y)で標準偏差がsigma(y)の母集団からサイズnのランダムサンプルを繰り返し抽出し、nが大きい場合、サンプル平均の分布は平均=mu(y)と標準偏差=(sigma(y))/sqrt(n)である正規に近くなるというものです。

次の実験で、中心極限定理の影響を調べてみます。細工されていないサイコロを1000回投げたとします。すべての目が出る回数はほぼ等しくなることが予想されます。この1000回の分布を確認しましょう。この分布はグラフ1に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

次に、サイコロを2回投げてその2回の平均を求めます。この実験も1000回繰り返します。2回投げた平均の分布を確認しましょう。この分布はグラフ2に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

2回投げた平均の分布のみがすでに山型になっています。次に、サイコロを3回投げてその3回の平均を求めます。この実験も1000回繰り返します。平均の分布がどのように変化したかを確認しましょう。この分布はグラフ3に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

この場合も、分布の形状は正規分布に非常に近くなっています。分布にその他の変化はあったでしょうか。

次はサイコロを5回投げてその5回の平均を求めます。この実験も1000回繰り返します。この分布はグラフ4に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

変化パターンにお気づきでしょうか。

サイコロを投げる回数を増やし続けます。今回はサイコロを10回投げてその10回の平均を求めます。この分布はグラフ5に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

この時点で、投げる回数を増やすことで2つの現象が発生していることが分かります。1つ目は、平均の分布の形状が完全に正規分布の形状に近づいています。2つ目は、投げる回数を増やすたびに、分布はより狭くなっています。サイコロを投げる回数をさらに増やしてみましょう。今回はサイコロを20回投げます。この分布はグラフ6に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

すでにサンプルサイズの増加がサンプル平均の分布に及ぼす影響は十分に理解しているかと思います。最後にもう1度サンプルサイズを増やし、この理解が正しいことを確認します。今回はサイコロを30回投げます。この分布はグラフ7に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

これまでの結果を再確認しましょう。

サイズ2、5、10、20、30のサンプルを1つのプロットにまとめたヒストグラムを作成し、分布の変化を表示させます。

Enterキーを押して続行します。

中心極限定理は、理論的な結果を示しています。これを今回のシミュレーション結果と比較してみましょう。

Theoretical Results Observed Results ------------------- ---------------- Sample Standard Standard Size Mean Deviation Mean Deviation ------ ---- --------- ----- --------- 1 3.5 1.707825 3.453 1.7041 2 3.5 1.207615 3.527 1.2320 3 3.5 0.986013 3.546 0.9503 5 3.5 0.763763 3.481 0.7532 10 3.5 0.540062 3.506 0.5289 20 3.5 0.381879 3.510 0.3891 30 3.5 0.311805 3.507 0.3148