外れ値検定の方法と計算式

たとえば、外れ値の疑いがある値がサンプルの最小値でありながら、異常に大きな値も2つサンプルに含まれている場合、r₁₂が適切な検定統計量です。検定統計量r₁₀（DixonのQとも呼ばれる）は、サンプルに極端な値が1つしか含まれない場合に適しています。

Dixonの検定統計量の棄却値は、Rorabacherが表にしています（1991年）。

片側検定統計量

片側検定の計算式は、最小値y_iを検定するか、それとも最大値y_nを検定するかによって異なります。y_iが外れ値かどうかを検定するには、次の計算式を使用します。

y_nが外れ値かどうかを検定するには、次の計算式を使用します。

両側検定統計量

両側検定統計量は、King（1953年）がr₁₀に関して両側検定統計量を定義しているように定義します。両側検定統計量は次のように求められます。

表記

参考文献

片側統計量の計算式

最小のデータ値が外れ値かどうかを検定する場合、検定統計量Gは次のように求められます。

最大のデータ値が外れ値かどうかを検定する場合、Gは次のように求められます。

両側統計量の計算式

両側仮説の場合、Gは次のように求められます。

表記

用語	説明
	サンプル平均
yi	サンプルに含まれるi番目に小さい値
s	サンプルの標準偏差
n	サンプルに含まれる観測値数

検定統計量の累積分布関数

Dixon（1951年）とMcBane（2006年）によると、検定統計量r_ijの確率密度関数は次のように記述できます。

ここで、Cは次のように指定される正規化因子です。

関数行列式J(x,v,r)は次のように指定されます。

t = (1 + r² ) v² / 2およびu² = 3x² / 2の変換を使用して、密度関数は次のように記述できます。

Minitabは30点のGauss-Laguerreの求積法を使用して内積分を評価します。Minitabは30点のGauss-Hermiteの求積法を使用して外積分を評価します。

この族の検定統計量の累積分布関数は次のように指定されます。

McBane（2006年）と同じように、Minitabは16点のGauss-Legendreの求積法を使用してF_ij(r)を計算します。

片側検定のp値

下付き文字（i、j）のペアについて、観測される片側統計値rのp値は次のように指定されます。

片側検定のp値

King（1953年）の結果を使用して、下付き文字（i、j）のペアについて、観測される両側統計値rのp値は次のように指定されます。

さらに、Kingは上記の近似がと同等になるとも述べています。

表記

参考文献

W.J. Dixon (1951). "Ratios Involving Extreme Values," Annals of Mathematical Statistics, 22(1), 68-78.

E.P. King (1953). "On Some Procedures for the Rejection of Suspected Data," Journal of the American Statistical Association, Vol. 48, No. 263, pages 531-533.

G.C. McBane (2006). "Programs to Compute Distribution Functions and Critical Values for Extreme Value Ratios for Outlier Detection," Journal of Statistical Software, Vol. 16, No. 3, pages 1-9.

片側検定の計算式

片側検定のp値は次のようになります。

両側検定の計算式

両側検定のp値は次のようになります。

p値は正確か近似か

次の条件を満たす場合、p値は正確です。

満たさない場合、計算されるp値は正確なp値の上限を示します。ただし、上限は正確なp値の非常に優れた近似です。

表記