正規性検定の方法と計算式

平均

一連の数字の中心として一般的に使用される測度。平均は平均値とも呼ばれます。これは、すべての観測値の和を（非欠損）観測値数で割ったものです。

計算式

表記

用語	説明
x_i	i番目の観測値
N	非欠損観測値の数

標準偏差

サンプルの標準偏差により、データの広がりの測度が得られます。サンプル分散の平方根に等しくなります。

計算式

列にx ₁, x ₂,..., x _Nが含まれていて、平均が

の場合、サンプルの標準偏差は次のようになります。

表記

用語	説明
x _i	i番目の観測値
	観測値の平均
N	非欠損観測値の数

N

Minitabは、サンプルに含まれる非欠損観測値の数を表示します。

Anderson-Darling

A²は、（選択分布に基づいた）適合線と（プロット点に基づいた）ノンパラメトリックステップ関数の間のエリアを示します。この統計量は、分布の裾の方が重みの大きい二乗距離です。Anderson-Darlingの値が小さい場合、分布がデータにより良くあてはまることを示します。

Anderson-Darling正規性検定は次のように定義されます。

H₀: データは正規分布に従う

H₁: データは正規分布に従わない

計算式

正規性検定の結果をレポートするためのもう1つの定量的な測度はp値です。p値が小さいことは帰無仮説が偽であることを示します。

A ²がわかっている場合、p値を計算できます。次のように定義します。

A'²に応じて、次の計算式でpを計算します。

もしA'² > 13 > 0.600 ならば、p = exp(1.2937 - 5.709 *A'² + 0.0186(A'²)²)
もし0.600>A'² >0.340ならp = exp(0.9177 - 4.279 *A'² – 1.38(A'²)²)
もし0.340>A'² >0.200なら、p = 1 – exp(–8.318 + 42.796 *A'² – 59.938(A'²)²)
もしA'² <0.200 then p = 1 – exp(–13.436 + 101.14 * A'² – 223.73(A'²)²)

表記

用語	説明
F(Y_i)	、これは標準正規分布の累積分布関数です
Y_i	順序付きデータ

Ryan-Joiner

ライアン・ジョイナー検定は相関係数を提供し、データとデータのオーダー統計量の正規スコアとの相関を示します。相関係数が1に近い場合、データは正規確率プロットに近くなります。適切な棄却限界値より小さい場合、正規性の帰無仮説を棄却します。

計算式

相関係数は次のように計算されます。

順序統計量の正規スコアは以下の定義を持ちます。

ここで n は標本サイズ、 i は順序付けられた観測値のランクです。同点の観測値は彼らのランクの平均を割り当てます。例えば、2つの同列観測値が順序データで5番と6番の位置にある場合、それぞれに5.5のランクを割り当てます。

p値は標本サイズ(n)に依存する補正係数を用いて計算されます。あなたの有意水準に対応する因子を使いましょう。例えば、α = 0.05 の場合は cor05を使います。

もし n ≥ 50

もし n ならば < 50

次に相関係数と補正係数を比較してp値を求めます。

R_p > cor10ならば p > 0.10。
cor05 < R_p ≤ cor10ならば:
cor01 < R_p ≤ cor05ならば:
R_p ≤ cor01なら、 p < 0.01.

表記

用語	説明
Y_i	順序付き観測値
b_i	順序統計の正規スコア
s ²	サンプル分散
n	サンプルサイズ
i	順序付けデータの順位

Kolmogorov-Smirnov

計算式

Kolmogorov-Smirnov検定は次のように定義されます。

H₀: データは正規分布に従う
H₁: データは正規分布に従わない

Kolmogorov-Smirnov検定統計量は次のように定義されます。

p値を決定するために、Minitabはサンプルサイズ(n)を考慮した調整統計量(d^*)を使用します。

d^* を以下の臨界値と比較してp値を決定します。

d^* < 0.775, ならばp >0.15
0.775≤ d^* < 0.819, tならば:
0.819≤ d^* < 0.895, tならば:
0.895≤ d^* < 0.995, tならば:
0.995≤ d^* < 1.035, tならば:
d^* ≥1.03ならば p < 0.01.

表記

用語	説明
D⁺	max_i {i / n – Z _(i)}
D^–	max_i {Z _(i) – (I – 1) / n)}
Z	F(X_(i))
F(x)	正規分布の確率分布関数
X_(i)	iはランダムサンプルの統計量を1≤ i ≤ n の順序です
n	サンプルサイズ

プロット点

一般に、点の位置が適合線に近ければ、適合度が高いといえます。Minitabでは、2つの適合度の測度を利用して、データへの分布の適合度を評価することができます。

計算式

下の表は、中心線がどのように決まるかを示しています。

分布	x座標	y座標
正規	x	Φ^–1 _norm

表記

用語	説明
Φ^–1 _norm	標準正規分布の逆累積分布関数によってpに返される値

確率プロット

入力データはx値としてプロットされます。Minitabは、分布を仮定せずに出現の確率を計算します。グラフのYスケールは、データが正規分布になっていると、確率プロットが直線になる正規確率紙のYスケールに似ています。