1サンプルの分散の方法と計算式

標準偏差とは、散布度、つまり平均を中心としたデータの広がり方を表す最も一般的な測度です。サンプル標準偏差は、サンプル分散の平方根に等しくなります。

列にx₁, x₂,..., x_Nが含まれていて、平均がの場合、標準偏差は次のように求められます。

表記

用語	説明
xi	サンプルのi番目の観測値
	サンプル平均
S	サンプル標準偏差
n	サンプルサイズ

分散は、平均を中心としたデータの広がり方を測定します。分散は、標準偏差の二乗に等しくなります。

計算式

表記

用語	説明
xi	i番目の観測値
	観測値の平均
N	非欠損観測値の数

信頼区間

母標準偏差の100(1 - α)%信頼区間は次のように求められます。

母分散の100(1 - α)%信頼区間は次のように求められます。

信頼境界

片側検定を指定した場合、Minitabでは対立仮説の方向に従い、片側の100(1–α)%信頼境界が計算されます。

• 「次より大きい」対立仮説を指定した場合、母標準偏差の100(1–α)%下限は次のように求められます。

  

  母分散の100(1–α)%下限は次のように求められます。

  

• 「次より小さい」対立仮説を指定した場合、母標準偏差の100(1–α)%上限は次のように求められます。

  

  母分散の100(1–α)%上限は次のように求められます。

  

表記

この方法は連続データ（正規または非正規）に使用します。¹

信頼区間

母標準偏差の100(1-α)%信頼区間は次のように求められます。

母分散の100(1-α)%信頼区間は次のように求められます。

信頼境界

片側検定を指定した場合、Minitabでは対立仮説の方向に従い、片側の100(1–α)%信頼境界が計算されます。

• 「次より大きい」対立仮説を指定した場合、母標準偏差の100(1–α)%下限は次のように求められます。

  

  母分散の近似的な100(1- a)%下限は次のように求められます。

  

• 「次より小さい」対立仮説を指定した場合、母標準偏差の近似的な100(1 – α)%上限は次のように求められます。

  

  母分散の近似的な100(1- a)%上限は次のように求められます。

  

表記

用語	説明
α	1 – 信頼水準 / 100
cα/2	n / (n – zα/2)
cα	n / (n – zα )
s2	サンプル分散の観測値
zα/2	1 – α/2における標準正規分布の逆累積確率。nがzα/2以下の場合、MinitabではBonettの信頼区間が計算されません。
zα	1 – αにおける標準正規分布の逆累積確率。nがzα 以下の場合、MinitabではBonettの信頼区間が計算されません。
se
	= 推定過剰尖度
m	調整比率がに等しい調整平均。nが5以下の場合、m = サンプル平均
σ	母標準偏差の真の値
σ2	母分散の真の値

計算式

仮説検定では、それぞれの対立仮説について次のp値式を使用します。

H₁: σ² > σ₀²: p値 = P(Χ² ≥ x²)

H₁: σ² < σ₀²: p値 = P(Χ² ≤ x²)

H₁: σ² ≠ σ₀²: p値 = 2 × min{P(Χ² ≤ x²), P(Χ² ≥ x²)}

表記

用語	説明
σ2	母分散の真の値
σ02	母分散の仮説値
Χ2	σ2 = σ02の場合、自由度が(n – 1)のカイ二乗分布に従います
x2	用語 説明 S2 サンプル分散の観測値 n サンプルサイズ

計算式

Bonettの手順は検定統計量に関連付けられていません。ただし、Minitabは信頼限界によって定義される棄却域を使用してp値を計算します。

両側仮説の場合、p値は次のように求められます。

p = 2 × min(α_L, α_U)

• 片側の「次より小さい」対立仮説の場合、p値は表記のα/2をαに置き換えた後でα_Uとして計算されます。
• 片側の「次より大きい」対立仮説の場合、p値は表記のα/2をαに置き換えた後でα_Lとして計算されます。

表記

用語	説明
σ02	仮説分散
αL	次の式の最小解α
αU	次の式の最小解α
cα/2	n / (n – zα/2)
α	1 – 信頼水準 / 100
s2	サンプル分散の観測値
zα/2	1 – α/2における標準正規分布の逆累積確率。nがzα/2以下の場合、MinitabではBonettの信頼区間が計算されません。
se	用語 説明 = 推定過剰尖度 m 調整比率がに等しい調整平均。nが5以下の場合、m = 0