非線形回帰のパラメータ推定値を求める方法と計算式

パラメータを変換することによってパラメータ制約を実施します。¹

If	その後
a < θ	θ = a + exp( φ )
θ < b	θ = b - exp( φ )
a < θ < b	θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))

用語	説明
a、b	数値定数
θの	パラメータ
φ	変換されたパラメータ

これらの変換が実行され、元のパラメータに換算した結果が表示されます。

1. Bates、Watts（1988）、Nonlinear Regression Analysis and Its Applications、John Wiley & Sons, Inc.

θ_pの推定値の近似標準誤差は、以下の対角要素pの平方根にSを掛けたものです、これは以下のように記述します。

e_pは、要素pが1に等しく、その他のすべての要素が0に等しい1ベクトルを単位とするPです。以下のように計算します。

後退代入（back-solving）の場合:

表記

用語	説明
n	n番目の観測値
N	合計観測数
p	自由（ロックされていない）パラメータの数
R	最後の反復でViのQR分解から得られる（上三角）R行列
V0	勾配行列 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp)（Pの単位はf(x0, θ)の偏導関数の1ベクトル）はθ*で評価されます
S

パラメータ推定の適切な分散共分散行列は以下になります。

θ_pとθ_qの推定値間の適切な相関は以下になります。

Rは三角行列であるため、Minitabでは、汎用逆行列アルゴリズムではなく後退代入で逆行列を取得できます。

表記

用語	説明
R	最後の反復でViのQR分解から得られる（上三角）R行列
P	自由（ロックされていない）パラメータの数
v0	勾配行列 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θ p)（Pの単位はf( x0, θ)の偏導関数の1ベクトル）はθ*で評価されます。
θの	パラメータ

θ = (θ₁, . . . . θ_p) *とします（θ*はθの最後の導関数）。

尤度ベースの100 (1 - α) %信頼限界は以下を満たします。

S( θ_p )は、θ_pを固定し、他のパラメータを最小化したときに得られる平方和誤差です。¹これは以下の解法と等しいです。

S(θ_p) = S(θ*) + (t_α/2)² 平方和誤差

表記

用語	説明
θの	パラメータ
n	n番目の観測値
N	合計観測数
P	自由（ロックされていない）パラメータの数
tα/2	Nを持つt分布の上側点 αまたは2 - 自由度P
S(θ)	平方和誤差
誤差の平均平方	平均平方誤差