回帰モデルの適合の適合値と残差を求める方法と計算式

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適合値

用語	説明
	適合値
x_k	k番目の項。各項は1つの予測変数、多項式の項、または交互作用項になり得ます。
b_k	k番目の回帰係数の推定値

1つの予測変数を持つ回帰モデルにおける適合値の標準誤差：

2つ以上の予測変数を持つ回帰モデルにおける適合値の標準誤差：

重み付け回帰の場合、式に重み行列を含めます。

データにテストデータセットまたは K 折りクロス検証がある場合、数式は同じです。の値 s²はトレーニングデータから。設計マトリックスと重量マトリックスもトレーニングデータから取得されます。

用語	説明
s¹	mean square error
n	number of observations
x₀	new value of the predictor
	mean of the predictor
x_ii	i^番目の predictor value
x₀	vector of values that produce the fitted values, one for each column in the design matrix, beginning with a 1 for the constant term
x 2」と定義されます。₀	transpose of the new vector of predictor values
X	design matrix
W	weight matrix

回帰では、適合値の信頼限界は次式で与えられます。

重み付き回帰では、計算式に重みが含まれます。

ここで、t_vは両側区間の自由度がvの t 分布の1－α/2分位数です。片側限界の場合、t_v は自由度がvのt分布の1－α分位数です。

テストデータセットまたは K分割交差検証を使用する場合、自由度と平均平方誤差は、トレーニングデータセットから得られます。

Box-Cox変換を使用する場合、信頼区間の計算式に逆変換を適用して、元の応答の単位での限界を見つけます。たとえば、Box-Cox変換が自然対数の場合、逆変換は次式で与えられます。

用語	説明
	fitted value
	quantile from the t distribution
	degrees of freedom
	mean square error
	leverage for the i番目の observation
w_i	weight for the i番目の observation

残差とは、観測値とそれに対応する適合値の差です。観測値のこの部分はモデルでは説明ができません。観測値の残差は以下になります。

用語	説明
y_i	i番目に観測された応答値
	i番目の応答適合値

標準化残差は、「内部的スチューデント化残差」とも呼ばれます。

検証データでは、標準化残差の計算式の分母は、てこ比を引く代わりに足します。

重み付き回帰では、式に重みが含まれます。

用語	説明
e_i	i 番目の residual in the validation data set
h_i	leverage for the i番目の validation row
s²	mean square error for the training data set
w_i	weight for the i番目の observation in the validation data set

外部でステューデント化された残差とも呼ばれます。計算式は以下になります。

その他の式は以下になります。

i番目の観測値を推定するモデルは、データセットからi番目の観測値を除外します。従ってi番目の観測値は推定値に影響を与えません。削除された各残差には、の自由度。