回帰モデルの適合の主要な結果を解釈する

回帰モデルを解釈するには、次の手順を実行します。出力されるものは主に、p値、係数、R²、残差プロットです。

このトピックの内容

ステップ1：応答の変動性に最も寄与する項を特定する
ステップ2：モデルにおける応答と項の間の関係が統計的に有意かどうか判断する
ステップ3：データに対するモデルの適合度を判断する
ステップ4：モデルが分析の仮説を満たすかどうか判断する

ステップ1：応答の変動性に最も寄与する項を特定する

効果のパレート図を使用すると、項の相対的重要度および統計的有意性を比較することができます。モデルに誤差自由度があると、図が表示されます。

Minitabでは、項をその絶対値の降順でプロットします。パレート図上の参照ラインは、項の有意性を示します。デフォルトでは、有意水準0.05で参照ラインが引かれます。

主要な結果：パレート図

この結果では、3つの主効果は統計的に有意です（α = 0.05）。有意な効果はホルムアルデヒド濃度（A）、触媒比（B）、温度（C）です。時間の効果（D）は、棒が赤線を超えて伸びていないため、統計的に有意ではありません。

触媒比（B）は、棒が最も長く伸びているため、最大の効果となります。時間の効果（D）は、棒の伸びが一番短いことから、最小の効果となります。

ステップ2：モデルにおける応答と項の間の関係が統計的に有意かどうか判断する

モデルにおける応答と各項の間の関係が統計的に有意かどうか判断するには、項のp値と有意水準を比較して帰無仮説を評価します。この帰無仮説は、項と応答に関連性がないという仮定です。通常は、有意水準（αまたはアルファとも呼ばれる）として0.05が適切です。0.05の有意水準は、実際には関連性がない場合でも、関連性が存在すると結論付けてしまうリスクが5%であるということを示します。

p値 ≤ α：関連性は統計的に有意です: p値が有意水準以下の場合は、応答変数と項の間に統計的に有意な関連性が存在すると結論付けることができます。
p値 > α：その関連性は統計的に有意ではありません: p値が有意水準より大きい場合は、応答変数と項の間に統計的に有意な関連性があると結論付けることはできません。項を持たないモデルを再適合したいと考えるかもしれません。; 応答との間に統計的に有意な関連性がない予測変数が複数存在する場合は、一度に1つずつ項を削除することによってモデルを縮約できます。モデルからの項の削除の詳細は、モデルの縮約化を参照してください。

モデル項が統計的に有意な場合、解釈は項のタイプによって異なります。解釈は以下のとおりです。

連続予測変数が有意な場合は、予測変数の係数は0ではないと結論付けることができます。
カテゴリ予測変数が有意な場合は、すべての水準平均が等しいとは限らないと結論できます。
交互作用項が有意な場合は、予測変数と応答の間の関係がその項の他の予測変数に依存すると結論付けることができます。
多項式項が有意な場合は、データに曲面性が含まれると結論付けることができます。

係数

項	係数	係数の標準誤差	t値	p値	VIF
定数	-0.756	0.736	-1.03	0.314
濃度	0.1545	0.0633	2.44	0.022	1.03
触媒比	0.2171	0.0316	6.86	0.000	1.02
硬化温度	0.01081	0.00462	2.34	0.027	1.04
硬化時間	0.0946	0.0546	1.73	0.094	1.00

主要な結果：p値、係数

予測変数であるホルムアルデヒド濃度、触媒比、温度には有意水準0.05未満のp値があります。この結果から、これらの予測変数が統計的に有意な防皺性と関連性があることがわかります。例えばホルムアルデヒド濃度の係数については、モデル内の他項が一定の状態でも、濃度が1単位上昇するごとに、防しわ性の平均値が0.1545単位で増加すると考えられます。

時間のp値は0.05より大きく、時間が応答に関連していると結論付けるに十分な証拠はないことがわかります。化学者は、この予測変数なしでモデルを再適合させたいと思うかもしれません。

ステップ3：データに対するモデルの適合度を判断する

データに対するモデルの適合度を判断するために、モデル要約表の適合度統計量を調査します。

S

Sを使い、モデルがどの程度良好に応答を表示するか判断します。R²統計量のかわりにSを使い、定数を持たないモデルの適合を比較します。

Sは応答変数の単位で測定され、データ値と適合値の間の距離を表します。Sの値が小さければ小さいほど、モデルによる応答の記述が良好になります。ただし、Sの値が小さいだけでは、そのモデルが仮定を満たしているとは言い切れません。残差プロットを確認して仮定を検証する必要があります。

R二乗

R²値が大きくなるほど、モデルのデータへの適合度は上がります。R²は常に0～100%の間の値になります。

R²はモデルに新しい予測変数を追加すると必ず大きくなります。たとえば、最適な5予測変数モデルのR²は必ず、最適な4予測変数モデルと少なくとも同じ大きさになります。したがって、R²値は同じ大きさのモデルの比較に最も便利です。

R二乗（調整済み）

異なる数の予測変数を持つモデルを比較する場合は、調整済みR²を使用します。R²はモデルに予測変数を追加すると、それがモデルを改善しないとしても必ず大きくなります。調整済みR²値にはモデルに含まれる予測変数の数が組み入れられるため、正しいモデルの選択に役立ちます。

R二乗（予測）

予測R²を使用して、モデルが新しい観測値に対する応答をどの程度良好に予測するかを判断します。予測R²値が大きいモデルの予測能力は優れています。

R²よりも大幅に低い予測R²は、モデルの過剰適合を示している可能性があります。過剰適合は、母集団には重要でない項を追加した場合に起こります。そのモデルはサンプルデータに即してしまい、母集団の予測に適さなくなる可能性があります。

予測R²は、モデル計算に含まれていない観測値によって計算されるため、モデルを比較する場合は調整済みR²より便利です。

AICcとBIC

ステップワイズ法の各ステップの詳細を表示するとき、または分析結果を拡大表示するとき、さらに2つの統計量が表示されます。これらの統計量は補正赤池情報量基準（AICc）およびベイズ情報量規準（BIC）です。異なるモデルを比較する際はこれらの統計量を使用します。どちらの統計量でも、小さい値が好ましいと考えられます。

適合度統計量を解釈するとき、以下の点を考慮してください。

サンプルサイズが小さい場合、応答と予測との間の関係の強さが正確に推定されません。たとえば、より正確なR²が必要な場合、サンプルサイズを大きくする必要があります（40以上が一般的です）。
適合度統計量は、データに対するモデルの適合度を測る1つの測度に過ぎません。モデルに望ましい値がある場合でも、残差プロットを確認してモデルが仮定を満たしているかを検証する必要があります。

モデル要約

S	R二乗	R二乗 (調整済み)	R二乗 (予測)
0.811840	72.92%	68.90%	62.81%

主な結果：S、R二乗、R二乗（調整済み）、R二乗（予測）

この結果から、応答変動のおよそ73%をモデルで説明できます。このデータの場合、R²の値はモデルがデータに十分に適合することを示しています。異なる予測変数を追加モデルに適合させる場合、調整済みR²値と予測R²の値を使って、追加モデルがどの程度データに適合するかを比較します。

ステップ4：モデルが分析の仮説を満たすかどうか判断する

残差プロットを使用して、モデルが適切か、分析の仮定が満たされているかどうかを判断しやすくします。仮定を満たさない場合、そのモデルはデータにあまり適合しない可能性があり、結果の解釈は慎重に行う必要があります。

残差プロットのパターンを処理する方法の詳細は回帰モデルの適合の残差プロットを参照し、ページ上部にある一覧の中から残差プロット名をクリックしてください。

残差対適合値プロット

残差対適合値プロットを使用して、残差はランダムに分布し、均一な分散が存在するという仮定を検証します。点に特徴的なパターンがなく、０の両側にランダムにくるのが理想的です。

以下の表にあるパターンは、このモデルが、モデルの仮説を満たさないことを示している可能性があります。

パターン	パターンが示す意味
残差が適合値周辺に扇状または不均等に分散している	不均一分散
曲線	高次の項の欠損
ゼロから遠い点	外れ値
ある点が他の点からX軸方向に遠く離れている	影響力のある点

こうした残差対適合値プロットでは、点はゼロの周囲にランダムに分布していないようです。データ内の異なるグループを表す点群分布が見られるようです。そのグループを調査し、原因を特定する必要があります。

残差対順序プロット

残差対データ順序プロットを使用して、残差が互いから独立しているという仮定を検証します。独立している残差は、時間順で表示した場合にトレンドやパターンを示しません。点にパターンがある場合、互いに近い残差は相関している可能性があり、独立していないことを示しています。プロットの残差が中心線の周りにランダムに来るのが理想的です。