最適計画を選択の方法と計算式

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このトピックの内容

D-最適性
距離ベースの最適性

D-最適性

D-最適性基準を使うと、回帰係数の分散共分散行列の行列式が最小化されます。モデルを指定すると、候補となる計画点の中から自動的にD-最適判定基準を最適化する計画点が選択されます。ワークシートの計画列の行には、候補の計画点が入っています。選択処理は次の2つのステップから成ります。

初期計画の作成
最終計画を得るための初期計画の改善

最適計画の選択

候補セットから計画点が選択され、初期計画が作成されます。方法サブダイアログボックスで、これらの点を選択する際に使用するアルゴリズムを選ぶことができます。選択肢は、逐次選択、ランダム選択、または逐次選択とランダム選択の組み合わせです。デフォルトでは、すべての点が逐次選択されます。逐次選択は、初期計画内のすべての点がD-最適性の増加が最大になった順番で追加されたことを意味します。計画の選択を繰り返し、候補となるセットに含まれる実行が同じ順番になっている場合は、アルゴリズムは同じ解を求めます。

次に、自動的に点が追加または削除されて初期計画が改善され、最終計画（最適計画）が作成されます。改善方法は、方法サブダイアログボックスから選ぶことができます。選択肢は以下です。

交換法。この方法では、まず候補の中から最良の点のセットが追加されてから、最悪の点が削除されていきます。計画のD-最適性に改善の余地がなくなるまで削除が続行されます。方法サブダイアログボックスで交換される点の数を指定することができます。
フョードロフの方法。この方法では、同時に点のペアが入れ替えられます。つまり、D-最適性を最大限に改善するように、候補セットから1点が追加され、それに代えて計画から1点が削除されます。この処理が、計画に改善の余地がなくなるまで続行されます。
なし。この場合は、初期計画がそのまま最終計画となります。

デフォルトでは、1回につき1点ずつ交換が行われます。

最適計画の追補

初期計画はいずれか一方の方法で取得できます。

ワークシート内のすべての計画点を初期計画に使用できます。
指標列から、初期計画を構成する計画点と各点の反復数を指定することができます。

計画を追補する場合、Minitabでは「最良」の点候補のセットが連続的に追加されます。

交換法。この方法では、まず候補の中から最良の点のセットが追加されてから、最悪の点が削除されていきます。計画のD-最適性に改善の余地がなくなるまで削除が続行されます。方法サブダイアログボックスで交換される点の数を指定することができます
フョードロフの方法。この方法では、同時に点のペアが入れ替えられます。つまり、D-最適性を最大限に改善するように、候補セットから1点が追加され、それに代えて計画から1点が削除されます。この処理が、計画に改善の余地がなくなるまで続行されます。
初期計画の改善の抑制。この場合は、初期計画がそのまま最終計画となります。

デフォルトでは、1点交換が行われます。

候補となる計画点は、最適化処理の際に最終計画に置換されて追加されることがあります。よって、最終計画には重複計画点が含まれる可能性があります。

ヒント

数値の最適化では、大域的最適解ではなく局所最適解が求まるおそれが常にあります。局所最適解を避けるために、異なる初期計画から始めて最適化処理を何度か試すことができます。初期計画を純粋に逐次選択だけで生成する場合や、初期計画を指標列で指定する場合などでは、1回のみ試行が可能です。

Minitabでは最高のD-最適性を持つ計画が特定され、この計画に対して次のステップが実行されます。

点が選択されたものかどうかと、その計画点の反復数を表す指標列（最適点）を元のワークシートに作成する。
選択された計画点を新しいワークシートにコピーする。

距離ベースの最適性

あらかじめモデルを選択したくない場合の方法として、計画点を計画空間全体に均一に分散することをお勧めします。こういったケースでは、距離ベースの方法で計画点を選択するのが最適です。距離ベースの最適性のアルゴリズムは、計画空間に均一に分散された点の候補セットから計画点を選択します。

距離ベースの計画のアルゴリズムは、交換法を使用しません。また、最適計画が選択されている場合には点の反復も行いません。

最適計画の選択

原点からのユークリッド距離が最も大きい候補点（応答曲面計画）または、純成分に最も近い点（混合計画）が開始点として選択されます。その後、既に選択されている点から最も遠い点を追加する、ステップワイズによる方法で追加の計画点が追加されます。

最適計画の追補

指標列を使って、元の計画に追加できる点を示す必要があります。その後、既に選択されている点から最も遠い点を追加する、ステップワイズによる方法で追加の計画点が追加されます。