変動性の分析の分散分析の方法と計算式

平方和

距離の平方和です。ここで示す計算式は、因子AおよびBを持つ完全実施モデル、２水準モデルを求めるものです。これらの計算式は3つ以上の因子を持つモデルに展開することができます。詳細は、Montgomery¹を参照してください。

全体平方和は、モデル内の変動の合計です。平方和（A）と平方和（B）は全体平均を中心とした推定因子水準平均を二乗した偏差の和です。誤差の平方和は、残差の平方和です。処理内の誤差とも呼ばれます。計算は次のようになります。

モデルに反復が含まれる場合、純粋誤差の平方和は次のようになります。

完全実施要因や2因子モデルとは異なるケースでは、別の平方和が得られます。縮約モデルを適合した場合、不適合度の平方和は次のようになります。

モデルに中心点がある場合、曲面性の平方和は次のようになります。

分割実験計画では、全体プロットおよびサブプロットの誤差の変動に対する平方和は次の要因なります。

D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition, John Wiley & Sons.

用語	説明
a	因子Aの水準数
b	因子Bの水準数
n	合計反復数
	因子Aのi番目水準の平均
	すべての観測値の全体平均
	因子Bのj番目水準の平均
	因子Aのi番目の水準、因子Bのj番目の水準、およびk番目の反復での観測値
	因子Aのi番目の水準および、因子Bのj番目の水準での平均
	中心点の平均応答
	要因計画点の平均応答
n_F	要因計画点の数

Minitabでは、分散のSS回帰成分または処理成分を各因子の遂次平方和に分解します。遂次平方和は、因子や予測変数をモデルに入力するときの順序によって異なります。逐次平方和は、以前に入力された因子が何かある場合、1つの因子によって説明される回帰平方和の独特の部分です。

たとえば、X1、X2、X3という3つの因子または予測変数を含むモデルがある場合、X2の遂次平方和は、X1がモデル内にすでに含まれている場合、X2によって説明される残りの変動の割合を示します。別の平方和を得るには、分析を繰り返して異なる順序で因子を入力します。

調整平方和は、項をモデルに入力するときの順序に依存しません。調整平方和は、その他のすべての項が入力された順序にかかわらずモデル内に含まれる場合に、項によって説明される変動量を表します。

たとえば、3つの因子X1、X2、X3を扱うモデルがあった場合、X2の項が、調整平方和はX2の残りの変動にどれほど寄与しているのかを表します。モデル内のX1およびX3も同様です。

3つの因子の調整平方和の計算式は以下になります。

上の式で、SSR(X3 | X1, X2)は、X1とX2がモデルに含まれる場合のX3の調整平方和です。

上の式で、SSR(X2, X3 | X1)は、X1がモデルに含まれる場合のX2とX3の調整平方和です。

モデル¹に4つ以上の因子がある場合はこの式を拡張して計算します。

J. Neter、W. WassermanおよびM.H. Kutner（1985年）、Applied Linear Statistical Models第2版、Irwin, Inc.

因子AとB、およびブロック変数を持つ完全実施要因計画において、各平方和と関連付けられた自由度の数は次のように計算されます。

因子間の交互作用では、因子の項の自由度を積算します。たとえば、因子がAとBの場合、交互作用ABには次の自由度があります。

項の種類の自由度を見つけるには、項の自由度を合計します。たとえば、因子がAとBの場合、モデルの主効果には、次のように、さまざまな自由度があります。

中心点を持つ2水準計画の場合、曲面性の自由度は1です。