混合効果モデルの当てはめの分散成分を求める方法と計算式

パラメータθ_iを推定するためには、分散分析に繰り返し解が必要です。パラメータを得たら、分散成分には明白な解が与えられます。誤差の分散成分を求める計算式は以下になります。

ここで、

以下は変量効果項の分散成分です。

の観測値の平均を表します。

θ_iの推定に関する詳細は(1)を参照してください。

表記に関する詳細は、「方法」のセクションを参照してください。

参考文献

1. Hemmerle, W. and Hartley, H. (1973). Computing Maximum Likelihood Estimates for the Mixed A.O.V. Model using the W transformation. Technometrics, 15(4):819–831頁.

分散成分の標準誤差を推定するために、観測フィッシャー情報行列から開始します。行列にはc + 1の行と列があります。変数cは、モデルに含まれるランダム効果項の数で、1は誤差項の分散を表します。i = 1, …, c、およびj = 1, …, cにおいて、観測フィッシャー情報行列のij番目の成分の計算式は以下になります。

ここで、

以下の計算式は最終行および列、j = 1, …, cの成分です。

ここで、

この成分はまた、最終列および行の値です（分散共分散行列の対称性）。

以下の計算式は最終行および最終列の成分です。

分散成分の推定値の漸近的な分散共分散行列は、観測フィッシャー情報行列の逆行列を2倍にしたものです。標準誤差の推定値は、分散共分散行列の対角要素の平方根です。最初のc対角要素は変量効果項の分散成分の要素です。最後の対角要素は、誤差分散成分の要素です。

表記

用語	説明
	行列の追跡
	行列Mに含まれるすべての要素の平方和

表記に関する詳細は、「方法」のセクションを参照してください。

Minitabはデルタ法を使用して、分散成分の自然対数ワルドタイプの信頼限界を構成し、信頼区間をべき乗して分散成分の信頼区間を導き出します。誤差の分散成分を求める計算式も同じ形を取ります。

両側区間

下限

上限

表記

用語	説明
	管理図の中でも百分位（標準正規分布から得られる）
	1 − 信頼水準
	分散成分の標準誤差（分散成分）
	ランダム効果項の分散成分（ランダム効果項）

表記

漸近的な分散共分散行列は、観測フィッシャー情報行列を逆行列にしたものです。行列にはc + 1の行と列があります。変数cは、モデルに含まれるランダム効果項の数で、1は誤差項の分散を表します。i = 1, …, cおよびj = 1, …, cにおいて、観測フィッシャー情報行列の成分の計算式は以下になります。

ここで、

以下の計算式は最終行および列、j = 1, …, cの成分です。

ここで、

この成分はまた、最終行および行の値です（分散共分散行列の対称性）。

以下の計算式は最終行および最終列の成分です。

表記

用語	説明
	行列の追跡

表記に関する詳細は、「方法」のセクションを参照してください。