混合効果モデルの当てはめの方法

混合効果モデルの一般形

混合効果モデルには、固定効果とランダム効果の両方が含まれます。混合効果モデルの一般形は以下になります。

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

表記

用語	説明
y	応答値のn x 1ベクトル
X	固定効果項がp ≤ nの場合のn x p計画行列
β	未知のパラメータのp x 1ベクトル
	n x mi計画行列はモデル内のランダム項に対応
μi	次から得られる独立変数のmi x 1ベクトル：N(0,)
ε	次から得られる独立変数のn x 1ベクトル：N(0, )
n	観測値数
p	パラメータ数
c	モデル内のランダム項の数

分散共分散行列

混合効果モデルの一般形のモデルの仮定に基づき、応答ベクトルyは、平均ベクトルXβの多変量正規分布となり、次の分散共分散行列を持ちます。

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

ここで

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_cは分散成分と呼ばれます。

分散から因数分解することで、混合効果モデルの対数尤度の計算部分にあるH(θ)の表現を見つけることができます。

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

表記

用語	説明
θi	誤差分散内のランダム項の分散の比率

対数尤度

モデルに変量因子が含まれる場合、未知のパラメータ推定値はデフォルトで、制限された対数尤度関数の負の値を2倍したものを最小化することで発生します。最小化は、制限された対数尤度関数の最大化と同じです。Minitabでは反復アルゴリズムを使って制限された対数尤度関数が最小化されます。最小化する関数は以下になります。

表記

用語	説明
H	In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|	Hの行列式
H-1	Hの逆行列
mi	ランダム項の水準数
	誤差の分散成分
In	nの行と列を持つ恒等行列