許容限界区間 (正規分布)の方法と計算式

一般定義

X ₁、X ₂、...X _n は、ある連続的な分布から取られたサイズnのランダムなサンプルに基づく順序付け統計量であるとします。

次元が1以上の任意のパラメータ空間におけるΩの分布関数をF(x,θ)とします。

L < Uは、与えられる任意の値αおよびP（0 < α < 1および0 < P < 1）について、Ωにおけるすべてのθで以下が成り立つようなサンプルに基づいています。

すると、区間[L, U]はコンテンツ=P x 100%、信頼水準=100(1 – α)%の両側許容限界区間になります。このような区間は、両側(1 – α, P)の許容限界区間と呼ばれます。たとえば、α = 0.10およびP = 0.85とすると、導出される区間は、両側(90% , 0.85)の許容限界区間と呼びます。

L = –∞、およびU < +∞である場合、区間(-∞, U]は片側(1 – α, P)の上側許容限界と呼びます。L > -∞、およびU = +∞である場合、区間[L, +∞)は、片側(1 – α, P)の下側許容限界と呼びます。

片側区間の許容限界因子

ここで、t_n-1,1-α(δ)は、自由度がn – 1で非心パラメータがδの非心t分布の第1 – α百分位数で、この百分位数は次の式で求められます。

両側区間の許容限界因子

両側区間の正確な許容限界因子は、kに関する次の等式を解くことで得られます。クリシュナムーシーとマシュー¹を参照してください。

ここで、F_{n – 1}は、自由度がn – 1のカイ二乗分布とχ²_{1の累積分布関数であり、p}は、自由度が1で非心パラメータがz²の非心カイ二乗分布の第P百分位数です。等式の左側は次のように書き換えることができます。

ここで、

ここで、Φ(z)は標準正規分布の確率密度関数です。Minitabでは、36点のガウス-ルジャンドル積分を使用して、I(k, n, P)を評価します。

表記

用語	説明
1 - α	許容限界区間の信頼水準
p値	許容限界区間のカバー範囲（区間内の母集団の目標最小パーセント）
L	許容限界区間の下側限界
U	許容限界区間の上側限界
	サンプルの平均
k	許容限界因子（k因子とも呼ばれる）
S管理図	サンプルの標準偏差
n	サンプルに含まれる観測値の数
ZP	標準正規分布の第P百分位数

片側区間

kは以下を満たす最大の整数であるとします。

ここでYは、パラメータがnおよび1 - Pの二項ランダム変数です。片側(1 – α, P)の下側許容限界は、X_k として与えられます（クリシュナマーシーおよびマシュー⁴を参照）。同じように、片側(1 – α, P)の上側許容限界は、X _{n - k +1}として与えられます。どちらの場合でも、実際または有効なカバー範囲は、P(Y > k)で与えられます。

両側区間

kは、以下を満たす最小の整数であるとします。

ここでVは、パラメータがnおよびPの二項ランダム変数です。したがって、

ここでF _V ^-1(x)は、Vの逆累積分布関数です。両側（1 – α, P）の許容限界区間は、（X_r , X_s ）として与えられます（クリシュナマーシーおよびマシュー⁴を参照）。Minitabでは、s = n - r + 1を選択し、r = (n – k + 1) / 2が成り立つようにしています。rとsは、どちらも直近の整数に切り捨てられます。実際の、すなわち有効なカバー範囲は、P(V < k – 1)で与えられます。

表記