許容限界区間のためのサンプルサイズの方法と計算式の方法と計算式

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公差区間のサンプルサイズの一般的な計算式

公差区間(両側)の定義

X1, X2, ..., Xnを、連続分布からのサイズnのランダムなサンプルの順序付けられた値とします。

分布関数を、1以上の次元のパラメータ空間でのΩに対するF(χ,θ)とします。

L < Uを、0 < α < 1および0 < P < 1となる任意の与えられた値αおよびPに対するサンプルに基づく2つの統計量とすると、Ω内のすべてのθについて次の式が成り立ちます。

そうすると、区間[ L, U]は、包含率=P x 100%および信頼水準= 100(1 - α)%の両側公差区間となります。そのような区間は、両側(1 - α, P)公差区間と呼ぶことができます。たとえば、α = 0.10およびP = 0.85の場合に得られる区間は、両側(90% , 0.85)公差区間と呼ばれます。

サンプルサイズと誤差幅

C = F( U) – F( L)とします。両側(1 –α , P)公差区間は、次の式が成り立つように決定されます。
ここで、Cは、公差区間の包含率です。
FaulkenberryおよびWeeks1は、公差区間に対するサンプルサイズの問題を、誤差幅εおよび誤差幅確率α*の観点から説明しています。サンプルサイズは次の2つの条件を満たすのに十分な大きさになるように選択されます。
  • 区間に母集団の100P%以上が含まれる確率が1 – αである。
  • P* = P + εかつε > 0とするとき、区間に母集団の100P*%より多くが含まれる確率α*が小さい。

つまり、Pαε、およびα*の与えられた値に対して、サンプルサイズは次の式が成り立つように決定されます。

および

この手法は、任意のP* > Pに対して、P( C>P*)はサンプルサイズの減少関数であり、精度を評価するために使用できるという事実に基づいています。

小さいεおよびα*を選択すると、公差区間のサイズが小さくなるため、大きなサンプルサイズが必要になります。εおよびα*の一般的な値は、0.10、0.05、または0.01です。

Pαn、およびα*の与えられた値に対して、εを決定することもできます。

上記の定義と概念は片側公差区間にも適用されます。

  1. Faulkenberry, G.D. and Weeks, D.L. (1968). Sample size determination for tolerance limits. Technometrics, 10, 343-8.

正規許容限界区間のサンプルサイズの計算

片側区間

FaulkenberryおよびDaly1は、αPε、およびα*が所定の値の場合、片側区間の必要なサンプルサイズは次の等式を満足するnの最小値を見つけることによって得られることを示しています。

ここで、表記tx,y(d)は、自由度がxで非心パラメータがdの非心t分布の第y百分位数を表します。非心パラメータδおよびδ*は、次のようにして計算されます。

ここで、zpは標準正規分布の第P百分位数です。

Minitabでは、対話式アルゴリズムを使用してnの必要な最小値を見つけます。

両側区間

関数I(k, n, P)に依存する両側区間のサンプルサイズの計算については、許容限界区間(正規分布)の方法と計算式を参照し、「正規分布の正確な許容限界区間」をクリックしてください。

FaulkenberryおよびDaly1は、αPε、およびα*が所定の値の場合、両側区間の必要なサンプルサイズは、k1 < k2のときに次の等式を満足するnの最小値を見つけることによって得られることを示しています。

Minitabでは、対話式アルゴリズムを使用してnの必要な最小値を見つけます。詳細は、Odeh、Chou、およびOwen2を参照してください。

表記

用語説明
1 – α許容限界区間の信頼水準
P許容限界区間のカバー範囲(区間内の母集団の目標最小パーセント)
ε許容限界区間の誤差の幅
α*許容限界区間の誤差の確率の幅
nサンプルに含まれる観測値の数
  1. Faulkenberry, G.D. and Daly, J.C. (1970). Sample size for tolerance limits on a normal distribution. Technometrics, 12, 813–21.
  2. Odeh, R. E., Chou, Y.-M. and Owen, D.B. (1987). The precision for coverages and sample size requirements for normal tolerance intervals. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 16, 969–985.

正規許容限界区間の区間内の母集団の最大パーセントを計算

Minitabは誤差幅の区間を計算し、次に下記の式を用いて区間内の母集団の最大パーセントの区間を計算します。

P* = P + ε

誤差の幅の計算式は、公差区間のサンプルサイズの一般的な計算式で説明されているサンプルサイズの計算式に似ています。

片側区間

nαP、およびα*が所定の値の場合、片側区間の誤差の幅εは、まず以下の等式を解いてδの値を求めることによって得られます。

ここで、表記tx,y(d)は、自由度がxで非心パラメータがdの非心t分布の第y百分位数を表します。Minitabでは、数値平方根ファインダールーチンを使用してδ*を計算します。δ*の値が定まれば、次の式からεの値を求めることができます。

両側区間

両側区間の誤差の幅の計算は、関数I(k, n, P)に依存します。この関数については、正規分布での正確な許容限界区間で説明されています。

nαP、およびα*が所定の値の場合、両側区間の誤差の幅εは、「Odeh Chou and Owen1」で説明されているアルゴリズムを使用して得られます。まず、以下の等式を解いてkの値を求めます。

次に、kの値を使用して次の等式を解き、εの値を求めます。

表記

用語説明
1 – α許容限界区間の信頼水準
P許容限界区間のカバー範囲(区間内の母集団の目標最小パーセント)
P*区間内の母集団の最大パーセント
ε許容限界区間の誤差の幅
α*許容限界区間の誤差の確率の幅
nサンプルに含まれる観測値の数
  1. Odeh, R. E., Chou, Y.-M. and Owen, D.B. (1987). The precision for coverages and sample size requirements for normal tolerance intervals. Communications in Statistics: Simulation and Computation, 16, 969–985.

ノンパラメトリックの許容限界区間のサンプルサイズと区間内の母集団の指定可能な最大パーセントを計算

片側(1 – αP)許容下限は、kが以下の条件を満足する最大の整数であるXkで与えられます。
ここでYは、パラメータnおよび1 - Pの二項ランダム変数です。nkは同等に、W = nYがパラメータnおよびPの二項ランダム変数であるP(W nk) ≥ 1 – αのような最小の整数です。

すなわち、FW–1(.)がW = nYのW = Nの逆累積分布関数を表すnk = FW–1 (1 – α)です。

同様に、片側(1 – α, P)許容上限は、kが上記の下限条件を満足するX( nk + 1 )で与えられます。

どちらの場合でも、実際または有効なカバー範囲は、P(Y > k)で与えられます。

また、両側(1 – αP)許容限界区間は、k = srが以下の条件を満足する最小の整数(Xr、Xs)で与えられることもあります。
ここでVは、パラメータがnおよびPの二項ランダム変数です。すなわち、Fv–1(.)がW = nYの逆累積分布関数を表すk – 1 = Fv–1(1 – α)です。

r = ( nk + 1) / 2になるようs = nr + 1を適用することが一般的になりました。rsの両方が最も近い整数に切り捨てられます。実際または有効なカバー範囲は、P( Vk – 1)で与えられます。

基準

ノンパラメトリックの許容限界区間(片側および両側のどちらも)のサンプルサイズ計算基準は、正規データについての記述と似ています。具体的には、片側(1 – α, P)許容下限では、基準は、サンプルサイズ、n、および以下の条件を満足する最大の整数kを判別することからなります。

ここではYは、パラメータn、1 – Pの二項ランダム変数であり、またY*はパラメータnおよび1– P*、P* = P + εおよびε > 0の二項ランダム変数です。

この条件は、nおよび以下の条件を満足する最大の整数kを求めることに等しいです。

ここでFU(.)は、パラメータα = kおよびb = nk + 1とのベータ分布として分布されるランダム変数Uの累積分布関数を表します。

ハーンとミーカー1で示された通り、基準は、片側と両側の許容限界区間の両方で同一なサンプルサイズ要件をもたらします。したがって、片側と両側の区間の両方に、上記の基準を用います。

与えられたεP、およびα*の値については、Minitabは上記の2つの条件を満たす最小サンプルサイズを求めるために、反復アルゴリズムを使用しています。与えられたnP、およびα*の値についても、Minitabは反復アルゴリズムを用いて上記の条件を満たす誤差幅を計算し、次に以下の式を用いて母集団の最大パーセントの区間を計算します。

P* = P + ε

さらなる詳細については、ハーンおよびミーカー1を参照します。

表記

用語説明
1 - α許容限界区間の信頼水準
P許容限界区間のカバー範囲(区間内の母集団の目標最小パーセント)
P*区間内の母集団の最大パーセント
ε許容限界区間の誤差の幅
α*許容限界区間の誤差の確率の幅
nサンプルに含まれる観測値の数
  1. Hahn, G. J. and Meeker, W. Q. (1991), Statistical Intervals: A Guide for Practitioners. John Wiley & Sons, 170.
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