Mann-Whitney検定のETA1 - ETA2、W、およびp値の点推定の計算

最初のサンプル(Samp1)のデータが22、24、25、29、30、および2番目のサンプル(Samp2)のデータが16、21、22、23だとします。Mann-Whitney検定の出力は次のようになります。

Mann-Whitney: C1, C2

方法 η₁: C1の中央値 η₂: C2の中央値 差: η₁ - η₂
記述統計量 サン プル N 中央値 C1 5 25.0 C2 4 21.5
差の推定 差に対する信頼 達成され 差 区間 た信頼性 6 (-0.0000000, 13) 96.27%
検定 帰無仮説 H₀: η₁ - η₂ = 0 対立仮説 H₁: η₁ - η₂ ≠ 0
方法 w値 p値 同順位に対して未調整 33.50 0.050 同順位に対して調整済み 33.50 0.049

点推定の計算

η1 - η2の点推定は、2つのサンプル間で考えられるすべてのペアワイズ差の中央値です。

たとえば、5*4 = 20ペアワイズ差があります。この例の可能なペアワイズ差は、22-16 = 6、22-21 = 1、22-22 = 0、22-23 = −1、8、3、2、1、9、4、3、2、13、8、7、6、14、9、8、7です。

Minitabでは、統計 > ノンパラメトリック > ペアワイズ差を選択することにより、2つの列の間のすべてのペアワイズ差を取得できます。

これらの差の中央値は6です。

Wの計算

W = (正の差の数) + 0.5 (0と等しい差の数) + 0.5 (n1(n1+1))、ここでn1 = 最初のサンプルの観測値の数。

この例の場合は、W = 18 + 0.5(1) + 0.5*5*6 = 18 + 0.5 + 15 = 33.5です。

p値の計算

p値はWの検定統計量に基づいています。検定統計量Z(出力の一部ではない)は、Wの平均と分散を使用する正規近似です。

Wの平均= 0.5(n1 (n1 + n2 + 1)) Wの分散= n1*n2(n1+n2+1)/12 ここで、n1とn2は、それぞれ最初と2番目のサンプルの観測値の数です。

Z = (|W - Wの平均| - .5)/ Wの分散の平方根。

分子から0.5を差し引くと、連続性補正因子が得られます。

Ha: η1 < η2のp値はCDF(Z)です。Ha: η1 > η2のp値は(1 - CDF(Z))です。Ha: η1 ≠ η2のp値は2*(1 - CDF(Z))です。ここでCDFは、標準正規分布の累積確率です。

例:
  • Wの平均= 0.5*5(5+4+1) = 2.5*10 = 25
  • Wの分散= 5*4(5+4+1)/12 = 20*10/12 = 200/12 = 16.6667

Z = (|33.5 - 25| - .5)/sqrt(16.6667) = 1.9596

Haのp値: η1 ≠ η2は2*(1 - 0.974979) = 0.05。

Minitabでは、計算 > 確率分布 > 正規を選択することによって累積確率を取得できます。

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