1サンプル符号検定の方法と計算式

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直説法のp値

Minitabでは、二項分布を使用して、サイズ50(n ≤ 50)までのサンプルのp値を計算します。サンプルサイズがn(仮説の中央値と等しい観測値すべてを省略した後)で、帰無仮説における発生確率p = 0.5の場合、p値の計算方法は対立仮説によって異なります。

対立仮説 p値
H1: 中央値 > 仮説中央値
H1: 中央値 < 仮説中央値
H1: 中央値 ≠ 仮説中央値

表記

用語説明
n仮説の中央値と等しい観測値すべてを省略した後のデータ点の観測数
s仮説の中央値より大きいデータ点の観測数
S試行回数がnで事象の確率が0.5の二項分布(B(n,0.5))に従う確率変数
k

正規近似法のp値

Minitabでは、二項分布への正規近似を使用して、50(n ≤ 50)より大きいサンプルのp値を計算します。具体的には、次のようになります。

は、平均値0および標準偏差1、N(0,1)として、ほぼ正規分布のように分布します。

ここで、中央値より上の観測値の数Sは、帰無仮説において試行回数がnで成功の確率p = 0.5の二項分布(B(n, 0.5))です。

3つの対立仮説の正規近似p値で、連続量修正値0.5を使用します。

対立仮説 p値
H1: 中央値 > 仮説中央値
H1: 中央値 < 仮説中央値
H1: 中央値 ≠ 仮説中央値

表記

用語説明
n仮説の中央値と等しい観測値すべてを省略した後のデータ点の観測数
s仮説の中央値より大きいデータ点の観測数
S試行回数がnで成功の確率がp = 0.5の二項分布(B(n,0.5))に従う確率変数
k

信頼区間

符号検定の統計量は離散するため、1サンプル符号検定では、指定した信頼水準が必ず達成されるとは限りません。このためMinitabでは、さまざまなレベルの精度で2つの信頼区間を計算します。

手順

  1. Minitabにより、X(1) < X(2) < ... < X(n)のように観測値が順序付けされます。ここで、X(i )はi番目に小さな観測値です。
  2. 指定した信頼水準(Y)の場合、最初の区間は信頼度がY以下の最も近い正確な区間です。3番目の区間は、信頼度がY以上の最も近い正確な区間です。次のように、dが最大の整数だとします。
    • P (B < d) < (1 – γ) / 2

    Bは、パラメータサンプルサイズがnで、発生確率p = 0.5の二項分布です。

  3. 最初の区間はX(d + 1)X(nd)、および3番目の区画はX(d )X(nd + 1)です。
  4. Minitabでは、Hettmansperger and Sheather1によって開発された非線形の内挿法(NLI)によって中間の信頼区間を計算します。γd + 1が最初の区間の信頼水準、γdが3番目の区間の信頼水準であるとします。

    内挿法区間の最下端は、次の式で得られます。

    • X(d) + λ (X(d + 1)X(d))

    最上端は、次の式で得られます。

    • X(nd + 1)λ (X(nd + 1)X(nd))
1 T.P. Hettmansperger and S.J. Sheather (1986). "Confidence Intervals Based on Interpolated Order Statistics," Statistics and Probability Letters, 4(2), 75-79.
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