正規性検定の方法と計算式

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平均

一連の数字の中心として一般的に使用される測度。平均は平均値とも呼ばれます。これは、すべての観測値の和を(非欠損)観測値数で割ったものです。

計算式

表記

用語説明
xi i番目の観測値
N非欠損観測値の数

標準偏差

サンプルの標準偏差により、データの広がりの測度が得られます。サンプル分散の平方根に等しくなります。

計算式

列にx 1, x 2,..., x Nが含まれていて、平均がの場合、サンプルの標準偏差は次のようになります。

表記

用語説明
x i i番目の観測値
観測値の平均
N 非欠損観測値の数

N

Minitabは、サンプルに含まれる非欠損観測値の数を表示します。

Anderson-Darling統計量(A2

A2は、(選択分布に基づいた)適合線と(プロット点に基づいた)ノンパラメトリックステップ関数の間のエリアを示します。この統計量は、分布の裾の方が重みの大きい二乗距離です。Anderson-Darlingの値が小さい場合、分布がデータにより良くあてはまることを示します。

Anderson-Darling正規性検定は次のように定義されます。

H0: データは正規分布に従う

H1: データは正規分布に従わない

計算式

表記

用語説明
F(Yi)、これは標準正規分布の累積分布関数です
Yi順序付きデータ

Ryan-Joiner

Ryan-Joiner検定では、データとデータの正規スコアの間の相関を示す相関係数が得られます。相関係数が1に近い場合、データは正規確率プロットに近くなります。適切な棄却限界値より小さい場合、正規性の帰無仮説を棄却します。

計算式

相関係数は次のように計算されます。

表記

用語説明
Yi 順序付き観測値
bi 順序付きデータの正規スコア
s2 サンプル分散

Kolmogorov-Smirnov

計算式

Kolmogorov-Smirnov検定は次のように定義されます。
  • H0: データは正規分布に従う
  • H1: データは正規分布に従わない
Kolmogorov-Smirnov検定統計量は次のように定義されます。

表記

用語説明
D+ maxi {i / nZ (i)}
D maxi {Z (i) – (i – 1) / n)}
Z F(X(i))
F(x)正規分布の確率分布関数
X(i) ランダムサンプルのi番目の順序統計量(1 ≤ i ≤ n)
n サンプルサイズ

p値

正規性検定の結果をレポートするためのもう1つの定量的な測度はp値です。p値が小さい場合、帰無仮説が誤っていることを示します。

A2がわかっている場合、p値を計算できます。次のように定義します。
A'2に応じて、次の計算式でpを計算します。
  • 13 > A'2 > 0.600の場合、p = exp(1.2937 - 5.709 * A'2 + 0.0186(A'2)2)
  • 0.600 > A'2 > 0.340の場合、p = exp(0.9177 - 4.279 * A'2 – 1.38(A'2)2)
  • 0.340 > A'2 > 0.200の場合、p = 1 – exp(–8.318 + 42.796 * A'2 – 59.938(A'2)2)
  • A'2 <0.200の場合、p = 1 – exp(–13.436 + 101.14 * A'2 – 223.73(A'2)2)

プロット点

一般に、点の位置が適合線に近ければ、適合度が高いといえます。Minitabでは、2つの適合度の測度を利用して、データへの分布の適合度を評価することができます。

計算式

下の表は、中心線がどのように決まるかを示しています。
分布 x座標 y座標
正規 x Φ–1 norm

表記

用語説明
Φ–1 norm 標準正規分布の逆累積分布関数によってpに返される値

確率プロット

入力データはx値としてプロットされます。Minitabは、分布を仮定せずに出現の確率を計算します。グラフのYスケールは、データが正規分布になっていると、確率プロットが直線になる正規確率紙のYスケールに似ています。

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