ポアソンの適合度検定の方法と計算式

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推定平均

計算式

ポアソン分布の平均は次のように推定されます。

計算

データ
2  2  3  3  2  4  4  2  1  1  1  4  4  3  0  4  3  2 
3  3  4  1  3  1  4  3  2  2  1  2  0  2  3  2  3
カテゴリ(i 観測(Oi 推定平均 ポアソン確率(pi
0 2 0 * 2 = 0 p0 = e-2.4 = 0.090718
1 6 1 * 6 = 6 p1 = e-2.4 * 2.4 = 0.217723
2 10 2 * 10 = 20 p2 = e-2.4 * (2.4)2/ 2! = 0.261268
3 10 3 * 10 = 30 p3 = e-2.4 * (2.4)3/ 3! = 0.209014
7 4 * 7 = 28 p4 = 1 - (p0 + p1 +p2 + p3) = 0.221267

N = 35

Σ (i * Oi) = 84

推定平均 =

表記

用語説明
Nすべての観測値の和(O0 + O1 + ...+ Ok
k(カテゴリの数) - 1
Oii番目のカテゴリに含まれる事象の観測数
piポアソン確率

カテゴリの数

Minitabは、次の反復法を使用してカテゴリを判断します。

最初のカテゴリの定義

pi = P(X xi )とします

i = 1とします: N*pi 2の場合、最初のカテゴリは「 x 1」と定義されます。N*pi < 2の場合、iを1ずつ増加させて繰り返します: N*p 2 2の場合、最初のカテゴリは「 x 2」と定義されます。N*pi < 2の場合、iを1ずつ増加させ、N*pi 2になるまで繰り返します。この条件が最初に満たされるか、xi が3番目に大きなデータ値の場合は反復を中止し、最初のカテゴリを「 xi 」と定義します。最初のカテゴリの値が0の場合、最初のカテゴリは「以下」記号を付けずに「0」と定義されます。最初のカテゴリに関連付けられた確率と期待値はそれぞれpi N*pi です。最初のカテゴリの観測値は、 xi のすべてのデータ値の数です。

最後のカテゴリの定義

概念的に、最後のカテゴリの定義は最初のカテゴリの定義に似ていますが、Minitabは最大のデータ値から逆方向に作業を行います。

最後のカテゴリは「 xj 」と定義されます。ここで、xj はカテゴリが2より大きい期待値を持つように(1 + 最初のカテゴリのデータ値)より大きな最大のデータ値です。最後のカテゴリの確率と期待値はそれぞれpj およびN*pj で、観測値は xj のデータ値の数です。

中間のカテゴリの定義

最初と最後のカテゴリを判断した後で、Minitabはその間のカテゴリを判断します。「X k」を最初のカテゴリ、「X m」を最後のカテゴリとします。(k, m)のすべての整数が期待値 2を持つ場合、すべてが中間のカテゴリとなります。そうでない場合、Minitabは再帰的ループを使用して複数の隣り合う整数を期待値 2でカテゴリにグループ化します。データセットの観測値が少ないなど、カテゴリの期待値が2未満になる状況がいくつかあります。

表記

用語説明
N 観測値の総数
xi 最小から最大に並べ替えた後のデータセット内のi番目の
pi ポアソン確率

ポアソン確率

計算式

i番目のカテゴリ(i < k)のポアソン確率は次のようになります。

最後のカテゴリのポアソン確率。ここで、i = k

pi = 1 – (p0 + p1 + ...+ pk-1)

表記

用語説明
k カテゴリの数
λ サンプルの推定平均

期待数

計算式

i番目のカテゴリの観測値の期待数はN * pi です。

表記

用語説明
N サンプルサイズ
pi i番目のカテゴリに関連付けられたポアソン確率

カイ二乗への寄与度

計算式

カイ二乗値へのI番目のカテゴリの寄与度は次のように計算されます。

表記

用語説明
OI i番目のカテゴリの観測値の観測数
EI i番目のカテゴリの観測値の期待数

検定統計量

計算式

カイ二乗適合度検定統計量は次のように計算されます。

表記

用語説明
k (カテゴリの数) - 1
Oi i番目のカテゴリに含まれる観測値の観測数
Ei i番目のカテゴリに含まれる観測値の期待数

p値と自由度

p値は次のようになります。

確率(X > 検定統計量)

ここで、Xは、MEANサブコマンドを使用する場合は自由度がk - 1、MEANサブコマンドを使用しない場合は自由度がk- 2のカイ二乗分布に従います。

計算

データ
2  2  3  3  2  4  4  2  1  1  1  4  4  3  0  4  3  2 
3  3  4  1  3  1  4  3  2  2  1  2  0  2  3  2  3
カテゴリ(i 観測値(Oi 推定平均 ポアソン確率(pi
0 2 0 * 2 = 0 p0 = e -2.4 = 0.090718
1 6 1 * 6 = 6 p1 = e -2.4 * 2.4 = 0.217723
2 10 2 * 10 = 20 p2 = e -2.4 * (2.4)2/ 2! = 0.261268
3 10 3 * 10 = 30 p3 = e -2.4 * (2.4)3/ 3! = 0.209014
7 4 * 7 = 28 p4 = 1 - (p0 + p1 +p2 + p3 ) = 0.221267

= ( 0.43492 + 0.344527 + 0.080058 + 0.985114 + 0.071545) = 1.91622

k = 5= カテゴリの数

DF = 5- 2 = 3

p値 = P (X > 1.91622) = 0.590

表記

用語説明
k カテゴリの数
Oi i番目のカテゴリに含まれる観測値の観測数
Ei i番目のカテゴリに含まれる観測値の期待数
カイ二乗適合度検定統計量
DF自由度
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