2サンプルポアソン率のすべての統計量を解釈する

2サンプルポアソン率分析で使用されるすべての統計量の定義と解釈について解説します。

差 = 率1 - 率2

差とは、推定する母集団率間の未知な差です。Minitabは、どの母集団率をもう一方の母集団率から引くかを示します。

観測の長さ

ポアソン工程では、時間、領域、量、項目数など指定された観察範囲における特定の事象の発生数を数えます。観測の長さは、各観測範囲の規模、期間、またはサイズを表します。

解釈

Minitabでは、観測の長さを使用してサンプル率が最適な形式に変換されます。

たとえば、サンプルの観測値ごとに1年間の事象数を数える場合は、長さを1に指定すると1年間の出現率を、長さを12に指定すると1か月間の出現率を表します。

Minitabでは、出現総数、サンプルサイズ(N)、および観測の長さを使用してサンプル率が計算されます。たとえば、検査担当者が2本の組立てラインA、Bでそれぞれ製造された箱のタオルの欠陥数を検査するとします。裂け目が1か所、糸のほつれが2か所(合計3つの欠陥)など、一枚のタオルに複数の欠陥が見つかる場合があります。組立てラインAでは、1箱に10枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計112か所の欠陥を見つけました。組立てラインBでは、1箱に15枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計132か所の欠陥を見つけました。
  • 組立てラインAでは、検査担当者は112か所の欠陥を見つけたので、出現総数は112です。組立てラインBで見つかった欠陥は132か所なので、出現総数は132です。
  • サンプルサイズ(N)は、検査者が両方の組み立てラインで50箱のサンプルを抽出したため、どちらの組み立てラインの場合も50となります。
  • タオル1枚あたりの欠陥数を算定するため、検査担当者は、各箱に入っているタオルが10枚であることから、組立てラインAに対しては観測の長さとして10を使用します。組立てラインBに対しては、観測の長さとして15を使用します。
  • 組立てラインAのサンプル率は、(出現総数 / N) / (観測の長さ) = (112/50) / 10 = 0.224です。組立てラインBのサンプル率は(132/50) / 15 = 0.176です。よって、組立てラインAの1枚当たりの平均欠陥数は0.244、組立てラインBの1枚当たりの平均欠陥数は0.176になります。
  • 検査担当者は観測の長さとして1以外の値を入力するため、Minitabではサンプル平均も計算されます。組立てラインAのサンプル平均は、(出現総数 / N) = 112/50 = 2.24です。組立てラインBのサンプル平均は、132/50 = 2.64です。サンプル平均は1箱あたりの平均欠陥数を表します。しかしながら、各箱に含まれるタオルの枚数が異なるので、サンプル率のほうが統計量として役立ちます。

出現総数

出現総数は、サンプル内で出現する事象の出現回数です。

Minitabでは、出現総数、サンプルサイズ(N)、および観測の長さを使用してサンプル率が計算されます。たとえば、検査担当者が2本の組立てラインA、Bでそれぞれ製造された箱のタオルの欠陥数を検査するとします。裂け目が1か所、糸のほつれが2か所(合計3つの欠陥)など、一枚のタオルに複数の欠陥が見つかる場合があります。組立てラインAでは、1箱に10枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計112か所の欠陥を見つけました。組立てラインBでは、1箱に15枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計132か所の欠陥を見つけました。
  • 組立てラインAでは、検査担当者は112か所の欠陥を見つけたので、出現総数は112です。組立てラインBで見つかった欠陥は132か所なので、出現総数は132です。
  • サンプルサイズ(N)は、検査者が両方の組み立てラインで50箱のサンプルを抽出したため、どちらの組み立てラインの場合も50となります。
  • タオル1枚あたりの欠陥数を算定するため、検査担当者は、各箱に入っているタオルが10枚であることから、組立てラインAに対しては観測の長さとして10を使用します。組立てラインBに対しては、観測の長さとして15を使用します。
  • 組立てラインAのサンプル率は、(出現総数 / N) / (観測の長さ) = (112/50) / 10 = 0.224です。組立てラインBのサンプル率は(132/50) / 15 = 0.176です。よって、組立てラインAの1枚当たりの平均欠陥数は0.244、組立てラインBの1枚当たりの平均欠陥数は0.176になります。
  • 検査担当者は観測の長さとして1以外の値を入力するため、Minitabではサンプル平均も計算されます。組立てラインAのサンプル平均は、(出現総数 / N) = 112/50 = 2.24です。組立てラインBのサンプル平均は、132/50 = 2.64です。サンプル平均は1箱あたりの平均欠陥数を表します。しかしながら、各箱に含まれるタオルの枚数が異なるので、サンプル率のほうが統計量として役立ちます。

N

サンプルサイズ(N)は、サンプルに含まれる観測値の総数です。

解釈

サンプルサイズは、信頼区間、検定の検出力、および出現率に影響します。

通常、サンプルが大きいほど信頼区間は狭くなります。サンプルサイズが大きい場合は、検定による差の検出力も高くなります。詳細は、検出力とはを参照してください。

Minitabでは、出現総数、サンプルサイズ(N)、および観測の長さを使用してサンプル率が計算されます。たとえば、検査担当者が2本の組立てラインA、Bでそれぞれ製造された箱のタオルの欠陥数を検査するとします。裂け目が1か所、糸のほつれが2か所(合計3つの欠陥)など、一枚のタオルに複数の欠陥が見つかる場合があります。組立てラインAでは、1箱に10枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計112か所の欠陥を見つけました。組立てラインBでは、1箱に15枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計132か所の欠陥を見つけました。
  • 組立てラインAでは、検査担当者は112か所の欠陥を見つけたので、出現総数は112です。組立てラインBで見つかった欠陥は132か所なので、出現総数は132です。
  • サンプルサイズ(N)は、検査者が両方の組み立てラインで50箱のサンプルを抽出したため、どちらの組み立てラインの場合も50となります。
  • タオル1枚あたりの欠陥数を算定するため、検査担当者は、各箱に入っているタオルが10枚であることから、組立てラインAに対しては観測の長さとして10を使用します。組立てラインBに対しては、観測の長さとして15を使用します。
  • 組立てラインAのサンプル率は、(出現総数 / N) / (観測の長さ) = (112/50) / 10 = 0.224です。組立てラインBのサンプル率は(132/50) / 15 = 0.176です。よって、組立てラインAの1枚当たりの平均欠陥数は0.244、組立てラインBの1枚当たりの平均欠陥数は0.176になります。
  • 検査担当者は観測の長さとして1以外の値を入力するため、Minitabではサンプル平均も計算されます。組立てラインAのサンプル平均は、(出現総数 / N) = 112/50 = 2.24です。組立てラインBのサンプル平均は、132/50 = 2.64です。サンプル平均は1箱あたりの平均欠陥数を表します。しかしながら、各箱に含まれるタオルの枚数が異なるので、サンプル率のほうが統計量として役立ちます。

サンプル率

事象のサンプル出現率は、サンプル内の観測値の単位長さあたりに出現する事象の平均出現回数です。

解釈

各サンプルのサンプル率は、各サンプルの母集団率の推定値です。

Minitabでは、出現総数、サンプルサイズ(N)、および観測の長さを使用してサンプル率が計算されます。たとえば、検査担当者が2本の組立てラインA、Bでそれぞれ製造された箱のタオルの欠陥数を検査するとします。裂け目が1か所、糸のほつれが2か所(合計3つの欠陥)など、一枚のタオルに複数の欠陥が見つかる場合があります。組立てラインAでは、1箱に10枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計112か所の欠陥を見つけました。組立てラインBでは、1箱に15枚のタオルが入っています。検査担当者は、全部で50箱サンプリングし、合計132か所の欠陥を見つけました。
  • 組立てラインAでは、検査担当者は112か所の欠陥を見つけたので、出現総数は112です。組立てラインBで見つかった欠陥は132か所なので、出現総数は132です。
  • サンプルサイズ(N)は、検査者が両方の組み立てラインで50箱のサンプルを抽出したため、どちらの組み立てラインの場合も50となります。
  • タオル1枚あたりの欠陥数を算定するため、検査担当者は、各箱に入っているタオルが10枚であることから、組立てラインAに対しては観測の長さとして10を使用します。組立てラインBに対しては、観測の長さとして15を使用します。
  • 組立てラインAのサンプル率は、(出現総数 / N) / (観測の長さ) = (112/50) / 10 = 0.224です。組立てラインBのサンプル率は(132/50) / 15 = 0.176です。よって、組立てラインAの1枚当たりの平均欠陥数は0.244、組立てラインBの1枚当たりの平均欠陥数は0.176になります。
  • 検査担当者は観測の長さとして1以外の値を入力するため、Minitabではサンプル平均も計算されます。組立てラインAのサンプル平均は、(出現総数 / N) = 112/50 = 2.24です。組立てラインBのサンプル平均は、132/50 = 2.64です。サンプル平均は1箱あたりの平均欠陥数を表します。しかしながら、各箱に含まれるタオルの枚数が異なるので、サンプル率のほうが統計量として役立ちます。

サンプル平均

観測された長さが1とは異なる場合、サンプル平均が表示されます。サンプル平均は、出現総数をサンプルサイズで割った値です。ただし、観測の長さが1とは異なるため、特定の状況においては通常のサンプル率の方が有効です。

推定差

推定差とは、2つのサンプルにおける出現率の差のことです。

差は母集団全体ではなくサンプルデータに基づくため、サンプル差が母集団差に一致する可能性は低いと言えます。より良好に母集団差を推定するためには、差の信頼区間を使用します。

信頼区間(CI)と限界

信頼区間は、母集団の差の値が含まれる可能性が高い範囲です。データのサンプルはランダムであるため、2つの母集団サンプルの信頼区間が同一である可能性は低くなります。しかし、サンプルを何度も繰り返して測定すると、得られた信頼区間または限界値の特定の割合に未知の母集団差が含まれることになります。このような差を含む信頼区間や限界値の割合(%)を区間の信頼水準と言います。たとえば、95%の信頼水準は、母集団から100個のサンプルをランダムに採取した場合、そのうちおよそ95個からは母集団差を含む区間が得られると期待することができます。

上限は、母集団差がそれより小さくなる可能性が高い値です。下限は、母集団差がそれより大きくなる可能性が高い値です。

信頼区間により、結果の実質的な有意性を評価しやすくなります。状況に応じた専門知識を利用して、信頼区間に実質的に有意な値が含まれているかどうかを判断します。信頼区間が広すぎて役に立たない場合、サンプルのサイズを増加させることを検討します。詳細は、信頼区間の精度を高める方法を参照してください。

差の推定 差に対する95%信頼区 差を推定 間 -7.7 (-14.6768, -0.723175)

これらの結果では、2つの郵便局に来局する客数の差の母集団出現率の推定値は-7.7です。95%の信頼度で、母比率の差はおよそ-14.7から-0.7の間に含まれると考えることができます。

帰無仮説と対立仮説

差の検定では、帰無仮説と対立仮説が表示されます。帰無仮説と対立仮説は、ある母集団についての相互に排他的な2つの仮説です。仮説検定手法では、サンプルデータを用いて帰無仮説を棄却するかどうかを判断します。
帰無仮説
帰無仮説では母集団パラメータ(平均や標準偏差など)は仮説値に等しいと仮定します。帰無仮説とは多くの場合、前回の分析や専門知識を基にした最初の主張を指します。
対立仮説
対立仮説では、母集団パラメータは帰無仮説の仮説値よりも小さい、大きい、異なると仮定します。対立仮説とは、真であると確信できる、または真であることの証明が期待できる仮説を指します。

出力では、帰無仮説と対立仮説により、検定差として正しい値を入力したことを検証できます。

Z値

Z値とは、標準誤差の単位で観測統計量とその仮説母集団パラメータの差を測定するZ検定の統計量です。

解釈

Z値を標準正規分布の棄却限界値と比較して、帰無仮説を棄却するかどうかを判断できます。ただし通常は、検定のp値を使用して同じ決定を下すほうがより実用的で便利です。

帰無仮説を棄却するかどうかを判断するには、Z値を棄却限界値と比較します。棄却限界値は、両側検定の場合はZ1-α/2、片側検定の場合はZ1-αです。両側検定においては、Z値の絶対値が棄却限界値よりも大きい場合、帰無仮説を棄却します。Z値の絶対値が棄却限界値よりも小さい場合、帰無仮説を棄却することはできません。Minitabで棄却限界値を計算することも、ほとんどの統計に関する書籍に掲載されている標準正規表で棄却限界値を見つけることもできます。詳細については、逆累積分布関数(ICDF)の使用(英語)に移動して[Use the ICDF to calculate critical values]をクリックします。

Z値はp値の計算に使用されます。

p値

p値は帰無仮説を棄却するための証拠を測定する確率です。p値が小さいほど、帰無仮説を棄却するための強力な証拠となります。

解釈

p値を使用して、母集団の出現率の差が統計的に有意かどうかを判断します。

出現率の間の差が統計的に有意かどうかを判断するには、p値を有意水準と比較します。通常は、有意水準(αまたはアルファとも呼ばれる)として0.05が適切です。有意水準が0.05の場合は、実際には差がないのに差が存在すると結論付けるリスクが5%あることを示します。
p値 ≤ α: 割合間の差は統計的に有意です(H0を棄却する)
p値が有意水準以下の場合は、帰無仮説を棄却する決定を下します。母集団率間の差は仮説差と等しくないと結論付けることができます。仮説差を指定しなかった場合、Minitabでは、割合間に差がないかどうかを検定します(仮説差 = 0)。専門知識に基づいて、差が実際に有意かどうかを判断します。詳細は、統計的有意性と実質的有意性を参照してください。
p値 > α: 割合の間の差は統計的に有意ではありません(H0を棄却しない)
p値が有意水準よりも大きい場合は、帰無仮説を棄却しない決定を下します。母集団率どうしが異なると結論付けるだけの十分な証拠はありません。検定の検出力が、実質的に有意な差を検出するのに十分であることを確認してください。詳細は、2サンプルポアソン率の検出力とサンプルサイズを参照してください。

仮説差が0の場合、Minitabでは正確検定の手順で帰無仮説を検定します。正確検定のp値は、この正確検定の手順の結果です。もう一方のp値は、正規近似に基づいており、発生総数が少ない場合には不正確になる可能性があります。

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