T² 管理図の方法と計算式

目的の方法または計算式を選択してください。

プロットされた点

サブグループデータ

サンプルデータの場合、T2は次のように計算されます。

ここで、

は、の平均ベクトル(xjkの値の平均)。これは次のように計算されます。

S =サンプル共分散行列

サンプル共分散行列Sは、次のように計算されます。

ここで、

ここで、

k番目のサンプルのj番目の特性のサンプル分散は、次のように計算されます。

ここで、

ここで、

、共分散=

S行列の平均は、工程が正常に管理されている場合は分散の不偏推定値です。サンプル共分散行列が特異にならないように、npより大きくなければならず、変数間に強い相関があってはなりません。

個々の観測値

データが個々の観測値の場合、T2は次のように計算されます。

ここで、

ここで、

表記

用語説明
nサンプルサイズ
サンプル平均ベクトル
xijkk番目のサンプルのj番目の特性でのi番目の観測値
mサンプル数

T2の計算例

管理図にT2統計量をプロットします。プロットされた点が管理限界を超える場合、工程はこの点で管理外になります。Minitabの計算については、表とサンプルの式を参考にしてください。

次のデータは、洗浄液の開発処理から発生します。クエン酸ナトリウムとグリセリンの量は、洗浄液の効能に影響を与えます。

  サブグループ平均 分散と共分散 T2統計量
サブグループ クエン酸ナトリウム(X1 グリセリン(X2 S 1 2 S2 2 S 1 2 k T2
1 125 025 7292 8692 5791 5708
2 625 4 2292 2333 3333 1429
3 4 875 1467 0625 8000 9528
4 2 2 2933 7600 6667 8073
5 25 225 2500 2692 7917 7548
6 4 45 6667 9567 3333 2711
7 275 025 3692 4692 7108 7785
8 6 65 4333 7700 6933 6183
9 625 325 7892 5558 1325 3592
10 3 5 2867 9467 2600 4942
11 25 5 1767 1200 9000 3279
12 1 625 1467 1692 4033 0277
平均 7875 2333 7931 9318 3003  
  1. X1X2の変数ごとにサブグループ平均を計算します。この場合、サブグループごとに4つのサンプルがあります。
  2. 個々の観測値がある場合、すべての計算でサブグループ平均の代わりにそれらの観測値が使用されます。
  3. S1 2とS2 2のサブグループ分散を計算します。
  4. S1 2 kのサブグループ共分散を計算します。
  5. サブグループ平均の平均、サブグループ分散の平均、共分散の平均を計算します。
  6. 共分散行列のサンプルSと平均ベクトルを指定します。
  7. 以下で与えられるCT2を計算します。

T2管理図にT2をプロットして、管理限界と比較して個々の点が管理外かどうかを判断します。

中心線

T2管理図の中心線はKXです。KXの計算は、最大サンプルサイズ、およびMinitabでデータから共分散行列が推定されるかどうかによって異なります。

サブグループデータ

サブグループデータの場合、KXは次のように計算されます。

与えられた共分散行列
推定される共分散行列

個々の観測値

データが個々の観測値の場合、KXは次のように計算されます。

与えられた共分散行列
推定される共分散行列

ここで、

表記

用語説明
P変数の数
Mサブグループ数
Nサンプルサイズ
分子の自由度がu、分母の自由度がvの逆累積F分布
第1形状パラメータがα、第2形状パラメータがβの逆累積ベータ分布

管理限界

サブグループデータ

パラメータを指定しない場合の上側管理限界:

パラメータを指定した場合の上側管理限界:

個々の観測値

パラメータを指定しない場合の上側管理限界:

ここで、

詳細は、Woodallらによる1を参照してください。

パラメータを指定した場合の上側管理限界:

表記

用語説明
α固定値0.00134989803156746
p特性の数
m

サブグループデータでパラメータ推定値を指定しない場合、mはサンプルの数です。パラメータ推定値を指定した場合、mは共分散行列の作成に使用されたサンプルの数です。

個々のデータの場合、mは観測値の数です。

n各サンプルのサイズ
FF分布が使用されていることを示します。
Bベータ分布が使用されていることを示します。

分解されたT2統計量

分解されたT2統計量:

ここで、

ここで、

xi(p − 1)は分解された平均ベクトル

SxxはSの(p – 1) × (p – 1)主小行列

T2p|1,..., p−1は、フェーズ、およびサブグループまたは個々の観測値を持つかどうかによって異なる近似値です。

データのフェーズ1は次のサブグループです。

データのフェーズ2は次のサブグループです。

個々の観測値のフェーズ1:

個々の観測値のフェーズ2:

パラメータ推定値を指定しない場合はフェーズ1の管理限界が計算され、指定する場合はフェーズ2の管理限界が計算されます。

分解されたT2統計量の詳細は、Masonらの2を参照してください。

表記

用語説明
mサンプル数
FF分布が使用されていることを示します
Bベータ分布が使用されていることを示します

Box-Coxの方法と計算式

Box-coxの計算式

Box-Cox変換を使用する場合、Minitabでは、次の計算式に従って元のデータ値(Yi)を変換します。

ここでλは、変換のパラメータです。次にMinitabでは、変換されたデータ値(Wi)の管理図を作成します。Minitabでλの最適値を選択する方法については、ボックス-コックス変換の方法と計算式を参照してください。

共通のλ

次の表に、使用される一般的なλの値とその変換式を示します。
λ 変換
2
0.5
0
−0.5
−1
1 J. H. Woodall and W.H. Sullivan (1996). "A Comparison of Multivariate Control Charts for Individual Observations," Journal of Quality Technology, 28 (4), 398-408.
2 R. L. Mason、N. D. Tracy、J. C. Young(1995年)「Decomposition of T 2 for Multivariate Control Chart Interpretation」『Journal of Quality Technology』第27巻4月、99~108頁
本サイトを使用すると、分析およびコンテンツのカスタマイズのためにクッキーが使用されることに同意したことになります。  当社のプライバシーポリシーをご確認ください