変数抜取検査(作成・比較)の方法と計算式

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サンプルサイズと限界距離

サンプルサイズnと限界距離kの計算は、指定した規格限界の数、および標準偏差が既知かどうかによって異なります。

1つの規格限界と既知の標準偏差

サンプルサイズは次のように求められます。

限界距離は次のように求められます。

ここで、

1つの規格限界と不明な標準偏差

サンプルサイズは次のように求められます。

限界距離は次のように求められます。

標準偏差はサンプルデータから推定されます。

2つの規格限界と既知の標準偏差

Minitabは最初にzを計算します。

次に、Minitabはzに対応する上裾部として標準正規分布からp*を見つけます。これは、一方の規格限界から外れた最小不良確率です。

Minitabがサンプルサイズと限界距離の計算に使用する方法は、このp*の値によって異なります。

p1 = AQL、p2 = RQLとします。

  • 2p* ≤ (p1/ 2)の場合、2つの規格はかなり離れていて、計算は1つの限界計画に従います。
  • p1/ 2 < 2p* ≤ p1の場合、2つの規格はあまり離れていませんが、特定の平均値について最小不良確率が見つかるほど近くもありません。Minitabは反復実行してサンプルサイズと限界距離を見つけます。

次のように定義します。

μ = μ0+ m * h。ここで、h = σ/100です。

m = 1, 2, ...300とします。各μについて以下を計算します。

ここで、Φは標準正規分布の累積分布関数です。Prob (X<L) + Prob (X>U)がp1に極めて近い場合、MinitabはProb (X<L)~Prob (X>U)に収まるもっと大きな値を使用してサンプルサイズと許容数を見つけます。

Prob (X<L)をより大きな値として、pL = Prob (X<L)とします。

サンプルサイズは次のように求められます。

限界距離は次のように求められます。

ここで、

ZpL = 標準正規分布の第(1 – pL) * 100百分位数

  • p1 < 2p* < p2の場合、計画の規格を考え直す必要があります。これは、2つの規格限界と標準偏差によって決まる最小不良確率が合格となる品質水準p1を上回るためです。不良確率がp1より少し大きい計画を検討します。
  • 2p* ≥ p2の場合、ロットを不合格にする必要があります。2つの規格限界と標準偏差によって決まる最小不良確率が、不合格となる品質水準を上回ります。製品を検定することなく、そのロットを不合格にできます。

2つの規格限界と不明な標準偏差

最初に、Minitabでは限界距離を2つの個別の片側限界計画の場合に指定される値とします。

次に、Minitabは百分位数として標準正規分布からkに対応する上裾部p*を見つけ、標準正規分布からp* / 2の上裾部に対応する百分位数Zp**を見つけます。

最大標準偏差(MSD)は次のように求められます。

推定標準偏差は次のように求められます。

Minitabは、推定標準偏差sがMSD以下かどうかを検定します。

推定標準偏差sがMSD以下の場合、次のようになります。

サンプルサイズは次のように求められます。

限界距離は次のように求められます。

推定標準偏差sがMSD以下でない場合、標準偏差は大きすぎて合格基準を満たさず、ロットを不合格と判定する必要があります。

表記

用語説明
Z1標準正規分布の第(1 – p1) * 100百分位数
p1合格品質水準(AQL)
Z2標準正規分布の第(1 – p2) * 100百分位数
p2不合格となる品質水準(RQL)
Zα標準正規分布の第(1 – α) * 100百分位数
Zβ標準正規分布の第(1 – β ) * 100百分位数
Xii番目の測定値
実際の測定値の平均
L下側規格限界
U上側規格限界
σ既知の標準偏差

合格確率

pを不良確率とします。これは、OC曲線の点のx値です。

1つの規格限界と既知の標準偏差

1つの下側規格限界と既知の標準偏差
Prob (X < L) = p。
1つの上側規格限界と既知の標準偏差
Prob (X > L) = p。

1つの規格限界と不明な標準偏差

2つの規格限界と既知の標準偏差

Minitabは最初にzを計算します

次に、標準正規分布からp*をzに対応する上裾部として見つけます。これは、一方の規格限界から外れた最小不良確率です。

Minitabが合格確率に使用する方法は、このp*の値によって異なります。

p1 = AQL、p2 = RQLとします。

  • 2p* ≤ (p1/ 2)の場合、2つの規格はかなり離れていて、サンプルサイズと限界距離の計算は1つの限界計画に従います。
  • p1/ 2 < 2p* ≤ p1の場合、2つの規格はあまり離れていませんが、特定の平均値について最小不良確率が見つかるほど近くもありません。

任意のpについて、Minitabはグリッド検索アルゴリズムを使用して測定値の平均、μを見つけます。その後、次の計算を行います。

2つの規格限界と不明な標準偏差

上側規格限界と下側規格限界の両方が分かっていて標準偏差が分かっていない場合、Minitabは両方の規格限界のケースを近似するために一方の限界計画のOC曲線を使用します。p1、p2、α、βが指定された一方の限界計画について得られたOC曲線は、同じp1、p2、α、βの両側規格計画のOC曲線の帯の下側限界であり、ほとんどの実際的事例では、両側計画のOC曲線と見なすことができます。Duncan1を参照してください。

  1. Duncan (1986). Quality Control and Industrial Statistics, 5th edition.

表記

用語説明
nサンプルサイズ
k限界距離
σ既知の標準偏差
Zp標準正規分布の第(1 - p)100百分位数
Φ標準正規分布の累積分布関数
T

は自由度= n – 1と次の非中心パラメータで分布した非中心tです。

L下側規格限界
U上側規格限界

不合格確率

不合格確率(Pr)は、特定の抜取計画と入不良比率に基づいて特定のロットを不合格と判定する確率を示します。単純に、1から合格確率を引いた値となります。

Pr = 1 – Pa

ここで、

Pa = 合格確率

ロットの合格と不合格を判定する方法

Minitabは、サンプル抽出された項目の測定値と変数抜取検査計画の基準(サンプルサイズと限界距離)に基づいて合格または不合格の決定を計算します。

最初に、Minitabはデータから平均と標準偏差を計算します(標準偏差の経験値を指定しなかった場合)。

平均
標準偏差
合格基準

標準偏差の経験値を指定すると、MinitabはZの計算にsの代わりにσを使用します。

  • 両方の規格が指定された場合、各規格のZ値が計算されます。Z.LSL ≥ kかつZ.USL ≥ kの場合はロットを合格と判定し、それ以外の場合はロットを不合格と判定します。
  • 一方の規格のみが指定された場合、対応するZ値が計算されます。下側規格のみの場合、Z.LSL ≥ kの場合はロットを合格と判定し、それ以外の場合はロットを不合格と判定します。上側規格のみの場合、Z.USL ≥ kの場合はロットを合格と判定し、それ以外の場合はロットを不合格と判定します。

表記

用語説明
Xi測定データ
平均
s推定標準偏差
σ既知の標準偏差
nサンプルサイズ
k限界距離
L下側規格限界
U上側規格限界

平均出検品質(AOQ)

平均出検品質は、検査後の製品の品質水準を表します。平均出検品質は、入不良率の変化に伴って変化します。

表記

用語説明
Pa合格確率
p入不良率
Nロットサイズ
nサンプルサイズ

平均検査数(ATI)

平均検査数は、特定の入検品質水準と合格確率について検査する平均単位数を表します。

表記

用語説明
Pa合格確率
Nロットサイズ
nサンプルサイズ

合格領域(AR)

合格領域は、両方の規格限界が指定され、標準偏差が不明な場合にのみ計算されます。

Minitabは、合格領域の座標を見つけます。

  • 限界距離に相当する標準正規p*から上裾部を百分位数として見つけます。
  • 任意の2つの比率p01とp02について、p02 + p01 = p*を満たします。

p01 = (p* / 100) * h

p02 = (p* / 100) * (100 - h)

表記

用語説明
L下側規格限界
U上側規格限界
Zp01標準正規分布の第(1 - p01)* 100百分位数
Zp02標準正規分布の第(1 - p02)* 100百分位数
p01(p* / 100) * h
p02(p* / 100) * (100 – h)
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