変量バッチの安定性分析の方法

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混合モデルと対数尤度

混合モデルの一般形

混合効果モデルには、固定効果とランダム効果の両方が含まれます。混合モデルの一般形は以下になります。

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

表記

用語説明
y応答値のn x 1ベクトル
X固定効果がpnの場合のn x p計画行列
Ziモデル内のi番目のランダム効果に対するn x mi計画行列
β未知のパラメータのp x 1ベクトル
μiN(0, σ2i)から得られる独立変数のmi x 1ベクトル
εN(0, σ2i)から得られる独立変数のn x 1ベクトル
cモデル内のランダム効果の数

混合モデルの特殊形

安定性分析は、変量バッチ因子と共に2つのモデルを適合します。最大モデルには、時間、変量バッチ因子、時間とバッチの間のランダム交互作用が含まれます。

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ε

小さいモデルには、時間、変量バッチ因子が含まれます。

y =+ Z1μ1 + ε

応答ベクトルyの一般的な分散共分散行列は以下になります。

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

ここで

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2cは分散成分と呼ばれます。

分散から因数分解することで、混合モデルの対数尤度の計算部分にあるH(θ)の表現を見つけることができます。

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

バッチが変量因子の場合、未知のパラメータ推定値は、制限された対数尤度関数の負の値を2倍したものを最小化することで発生します。最小化は、制限された対数尤度関数の最大化と同じです。最小化する関数は以下になります。

表記

用語説明
n観測値数
pβのパラメータ数(cでは2)
σ2誤差の分散成分
X計画行列~定数と時間の固定項
H(θ)In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
Innの行と列を持つ恒等行列
θi誤差分散のi番目のランダム項の分散比
Ziモデル内のi番目のランダム効果に対する既知のコーディングのn x mi行列
mii番目のランダム効果の水準数
cモデル内のランダム効果の数
|H(θ)|H(θ)の行列式
X'Xの転置
H-1(θ)H(θ)の逆行列

ボックスーコックス変換

ボックスーコックス変換では、以下に示す通り、二乗値の残差合計を最小化するλ値が選択されます。出力される変換は、λ ≠ 0の場合にYλ、およびλ = 0の場合にln(Y)です。λ < 0の場合に、変換済み応答に−1を掛けて、変換されていない応答の順序を維持します。

−2~2の範囲で最適値が検索されます。値がこの区間外になった場合、適合性が低下することがあります。

以下は一般的な変換方法です(Y′はデータYの変換データ)。

ラムダ(λ)値 変換
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

変量バッチのモデル選択

モデル選択は、保存期間がバッチによって変わるかどうか、時間の効果がバッチによって変わるかどうかを判断します。以下の3つのモデルが順番に検討されます。
  1. 時間 + バッチ + バッチ*時間(バッチごとに傾きと切片が異なる)
  2. 時間 + バッチ(傾きが等しく、切片がバッチごとに異なる)
  3. 時間(バッチ全体で傾きと切片が等しい)

バッチ*時間の交互作用が有意な場合、分析は最初のモデルに適合します。この交互作用が有意ではないものの、2番目のモデルでバッチ項が有意な場合、分析は2番目のモデルに適合します。そうでない場合、分析は3番目のモデルに適合します。

バッチを併合するかどうかを判断する検定は、両方ともカイ二乗分布によって変動しますが、バッチが含まれている検定とは若干異なります。検定統計量の計算式とp値は以下のとおりです。

モデル1とモデル2の間の検定

差 = −2L2 − (−2L1)

p = 0.5 * Prob(χ21 > 差) + 0.5 * Prob(χ22 > 差)

モデル2とモデル3の間の検定

差 = −2L3 − (−2L2)

p = 0.5 * Prob(χ21 > 差)

表記

用語説明
Laモデルaの対数尤度
p検定のp値
Prob(χ21> 差)1自由度を持つカイ二乗分布のランダム変数が差よりも大きい確率
Prob(χ22> 差)2自由度を持つカイ二乗分布のランダム変数が差よりも大きい確率

参考文献

  1. Searle, S.R.、Casella, G.、McCuloch, C.E(1992)、Variance Components
  2. West, B.T.、Welch, K.B.、Galecki, A.T.(2007)、Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software
  3. Chow, S.(2007)、Statistical Design and Analysis of Stability Studies
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