偏最小二乗回帰の適合値と残差を求める方法と計算式

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適合値

予測されたYまたはは、推定回帰式を使用して得られた予測変数値の平均応答値です。

交差検証された適合値

交差検証された適合値は、モデルがどの程度データを予測するかを示します。これらの値は、モデルのデータへの適合度を示す通常の適合値と同様です。観測値の交差検証された適合値を得るには、モデルを計算するために使用したデータからその値を削除する必要があり、それによって、適合値は、観測値から独立している係数ベクトルと共に計算されます。交差検証された適合値の計算式は以下の通りです。

表記

用語説明
\ii観測値がモデル計算から除外されたことを示します。
b0\i 観測値iに含まれないモデルの切片
X予測変数値
B(\i)(j, k) 観測値iに含まれないモデルの係数

残差

残差とは、観測値とそれに対応する適合値の差です。観測値のこの部分はモデルでは説明ができません。観測値の残差は以下になります。

表記

用語説明
yii番目に観測された応答値
i番目の応答適合値

交差検証された残差

交差検証された残差はモデルの予測能力を示し、PRESS統計量を計算する際に使用されます。PLSの交差検証残差と最小二乗回帰の考え方は似ていますが、計算方法が異なります。

計算式

PLSの場合、交差検証された残差は、実際の応答と交差検証された適合値との差です。

交差検証された残差値は、交差検証の過程でモデルが再計算されるたびに除外される観測値の数に応じて異なります。

最小二乗回帰では、交差検証残差は通常の残差から直接計算されます。

表記

用語説明
(i)モデル計算から除外された観測値
yi 応答値
交差検証された適合値

標準化残差(Std Resid)

標準化残差は、「内部的スチューデント化残差」とも呼ばれます。

計算式

表記

用語説明
ei i番目の残差
hi X(X'X)–1X'i番目の対角要素
s2 誤差の平均平方
X計画行列
X'計画行列の転置

適合値の標準誤差(SE Fit)

1つの予測変数を持つ回帰モデルにおける適合値の標準誤差:

2つ以上の予測変数を持つ回帰モデルにおける適合値の標準誤差:

表記

用語説明
s2誤差の平均平方
n観測値数
x0新しい予測変数値
平均予測変数値
xii番目の予測変数値
x0定数項の値が1で始まる、計画行列の各列に与えらた適合値を生成するベクトル値
x'0予測変数の新しいベクトルの転置
X計画行列

信頼区間

信頼区間は、特定の予測値のセットに対して推定された平均応答値が含まれると予測される範囲です。この区間は、信頼水準と適合値の標準誤差から計算される下限と上限によって定義されます。

計算式

表記

用語説明
α α値
n 観測値数
p 予測変数の数
s 2 平均平方の誤差
S 2(b)係数の分散共分散行列

予測区間

予測区間は、新しい観測値の適合応答が含まれると予想される範囲です。

計算式

表記

用語説明
s(Pred)
任意の予測値の適合応答値
α 有意水準
n 観測値数
p モデルのパラメータ数
s 2 誤差の平均平方
X 予測変数の行列
X0 任意の予測変数の値の行列
X'0予測変数の新しいベクトルの転置
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