非線形回帰のパラメータ推定値を求める方法と計算式

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パラメータ制約

パラメータを変換することによってパラメータ制約を実施します。1
If その後
a < θ θ = a + exp( φ )
θ < b θ = b - exp( φ )
a < θ < b θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))
用語説明
a、b数値定数
θのパラメータ
φ変換されたパラメータ

これらの変換が実行され、元のパラメータに換算した結果が表示されます。

  1. Bates、Watts(1988)、Nonlinear Regression Analysis and Its Applications、John Wiley & Sons, Inc.

パラメータ推定の標準誤差

θpの推定値の近似標準誤差は、以下の対角要素pの平方根にSを掛けたものです、これは以下のように記述します。
epは、要素pが1に等しく、その他のすべての要素が0に等しい1ベクトルを単位とするPです。以下のように計算します。
後退代入(back-solving)の場合:

表記

用語説明
nn番目の観測値
N合計観測数
p自由(ロックされていない)パラメータの数
R最後の反復でViのQR分解から得られる(上三角)R行列
V0勾配行列 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp)(Pの単位はf(x0, θ)の偏導関数の1ベクトル)はθ*で評価されます
S

パラメータ推定の相関行列

パラメータ推定の適切な分散共分散行列は以下になります。
θpとθqの推定値間の適切な相関は以下になります。
Rは三角行列であるため、Minitabでは、汎用逆行列アルゴリズムではなく後退代入で逆行列を取得できます。

表記

用語説明
R最後の反復でViのQR分解から得られる(上三角)R行列
P自由(ロックされていない)パラメータの数
v0勾配行列 = ( ∂f(xn, θ) / ∂θ p)(Pの単位はf( x0, θ)の偏導関数の1ベクトル)はθ*で評価されます。
θのパラメータ

パラメータの尤度信頼区間を測定します。

θ = (θ1, . . . . θp) *とします(θ*はθの最後の導関数)。

尤度ベースの100 (1 - α) %信頼限界は以下を満たします。

S( θp )は、θpを固定し、他のパラメータを最小化したときに得られる平方和誤差です。1これは以下の解法と等しいです。

S(θp) = S(θ*) + (tα/2)2 平方和誤差

表記

用語説明
θのパラメータ
nn番目の観測値
N合計観測数
P自由(ロックされていない)パラメータの数
tα/2Nを持つt分布の上側点 αまたは2 - 自由度P
S(θ)平方和誤差
誤差の平均平方平均平方誤差
  1. Bates、Watts(1988)、Nonlinear Regression Analysis and Its Applications、John Wiley & Sons, Inc.
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