適合回帰モデルのモデルの方法と計算式

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重み付き回帰

重み付き最小二乗回帰は、観測値の分散が不均一な場合に用いられる手法です。分散が一定でない場合、

  • 観測値の分散が大きい場合は比較的小さい重みが与えられます
  • 観測値の分散が小さい場合は比較的大きい重みが与えられます

通常の重みの選択は、応答の純誤差分散の逆数です。

推定された係数を表す式は以下になります。
これは重み付き誤差平方和を最小化する際に用いられる式と同等です。

表記

用語説明
X計画行列
X'計画行列の転置
W対角線に重みを配置したn×n行列
Y応答値のベクトル
n観測値数
wii番目の観測値の重み値
yii番目の観測値の応答値
i番目の観測値の適合値

ボックスーコックス変換

ボックスーコックス変換では、以下に示す通り、二乗値の残差合計を最小化するλ値が選択されます。出力される変換は、λ ≠ 0の場合にYλ、およびλ = 0の場合にln(Y)です。λ < 0の場合に、変換済み応答に−1を掛けて、変換されていない応答の順序を維持します。

−2~2の範囲で最適値が検索されます。値がこの区間外になった場合、適合性が低下することがあります。

以下は一般的な変換方法です(Y′はデータYの変換データ)。

ラムダ(λ)値 変換
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

回帰式

複数の予測変数があるモデルの場合、回帰式は以下になります。

y = β0 + β1x1 + … + βkxk + ε

適合する式は以下になります。

単回帰では予測変数は1つしかなく、モデルは以下になります。

y=ß0+ ß1x1+ε

ß0に対してb0ß1に対してb1の回帰推定値を使用すると、適合する等式は以下になります。

表記

用語説明
y応答変数
xkk番目の項。各項は、1つの予測変数、多項式の項、または交互作用項になり得ます。
ßkk番目の母集団回帰係数
ε平均値が0で正規分布に従う誤差項
bkk番目の母集団回帰係数の推定値
適合する応答

計画行列

計画行列では、n行(nは観測値数)の行列(X)に予測変数があります。モデル内の係数ごとに列が1つあります。

カテゴリ予測変数は、1、0、または-1、0、1のいずれかを使用してコード化されます。Xには、参照因子水準レベルの列はありません。

交互作用項の列を計算するには、交互作用の予測変数のすべての対応値を積算します。たとえば最初の観測値は予測変数Aの値が4、予測変数Bの値が2とします。計画行列では、AB間の交互作用は8(4 × 2)となります。

X'X逆行列

p × p行列で、pはモデルの係数の個数です。X'X逆行列にMSEを乗じると、係数の分散-共分散行列になります。X'X逆行列を使用して、回帰係数やハット行列を算出することもできます。
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