適合ポアソンモデルの診断測度の方法と計算式

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ピアソン残差

不適合な因子/共変量パターンを検出するために使用できるピアソンカイニ乗の要素。Minitabでは、i番目の因子/共変量パターンのピアソン残差を保存します。計算式は以下になります。

表記

用語説明
yii番目の因子/共変量パターンの応答値
i番目の因子/共編量パターンの適合値
Vにおけるモデルの分散関数

分散関数は以下のモデルによって変わります。

モデル 分散関数
二項
ポアソン

標準化ピアソン残差と削除ピアソン残差

不適合な因子/共変量パターンを検出するために使用します。Minitabには、i番目の因子/共変量パターンの標準化ピアソン残差が保存されます。削除ピアソン残差は尤度比ピアソン残差とも呼ばれます。削除ピアソン残差の場合、プレジボンで説明されているワンステップ近似を計算します。1この近似は標準化ピアソン残差と等しいです。計算式は以下になります。

表記

用語説明
i番目の因子/共変量パターンのピアソン残差
1(二項モデル、ポアソンモデルの場合)
i番目の因子/共編量パターンのてこ比

逸脱残差

逸脱残差はモデル逸脱度を基にしており、不適合の因子/共変量パターンを特定するのに役立ちます。モデル逸脱度は、対数尤度関数に基づいた適合度統計量です。i番目の因子/共変量パターンに対して定義される逸脱残差は以下になります。

表記

用語説明
yi i番目の因子/共変量パターンの応答値
i番目の因子/共編量パターンの適合値
i番目の因子/共編量パターンの逸脱度

標準化逸脱残差

標準化逸脱残差は外れ値の特定に役立ちます。計算式は以下になります。

表記

用語説明
rD,ii番目の因子/共編量パターンの逸脱残差
hii番目の因子/共編量パターンのてこ比

削除逸脱残差

削除逸脱残差は、データからのi番目のケースの省略に起因する逸脱度の変化量を測定します。削除逸脱残差は尤度比逸脱残差とも呼ばれます。削除逸脱残差の場合、プレジボンのワンステップ近似法1を基に、ワンステップ近似を計算します。計算式は以下になります。

表記

用語説明
yii番目にある因子/共変量パターンの応答値
i番目の因子共編量パターンの適合値
hii番目の因子/共編量パターンのてこ比
r'D,ii番目の因子/共変量パターンの標準化された逸脱残差
r'P,ii番目の因子/共変量パターンの標準化されたピアソン残差

1. Pregibon, D.(1981)、『Logistic Regression Diagnostics』The Annals of Statistics9巻4号705~724頁

χ2(デルタカイ二乗)

j番目の因子/共変量パターンを持つすべての観測値を削除することによる、ピアソンカイ二乗の変化量を計算します。データの異なる因子/共変量パターンごとに1つの⊿χ2(デルタカイ二乗)値が保存されます。⊿χ2を使用して、不適合な因子/共変量パターンを検出できます。⊿χ2の計算式は以下になります。

計算式

表記

用語説明
hj てこ比
rj ピアソン残差

⊿逸脱度

Minitabでは、j番目の因子/共変量パターンの全ての観測値を削除することにより、逸脱量の変化を計算します。データ内の異なる因子/共変量パターンごとに1つの値を保存します。不適合因子/共変量パターンの検出に、⊿逸脱度を使用します。逸脱量の変化は以下の通りです。

表記

用語説明
hjてこ比
rjピアソン残差
dj逸脱残差

⊿ベータ(標準化)

j番目の因子/共変量パターンを持つすべての観測値を削除することで、変化量を計算します。データ内の異なる因子/共変量パターンごとに1つの値が保存されます。標準化された⊿βを使用して、係数の推定値に強い影響を与える因子/共変量パターンを検出できます。この値は、標準化されたピアソン残差に基づいています。

計算式

表記

用語説明
hj てこ比
rs j 標準化されたピアソン残差

⊿ベータ

j番目の因子/共変量パターンを持つすべての観測値を削除することで、変化量を計算します。データ内の異なる因子/共変量パターンごとに1つの値が保存されます。⊿βを使用して、係数の推定値に強い影響を与える因子/共変量パターンを検出できます。この値は、ピアソン残差に基づいています。

計算式

表記

用語説明
hj てこ比
rj ピアソン残差

てこ比

てこ比は、一般化されたハット行列の対角要素です。てこ比は、結果に有意な影響を与える可能性のある因子/共編量パターンを検出するのに役立ちます。

計算式

表記

用語説明
wj 係数を適合させることにより得られる重み行列のj番目の対角要素
xjj行目の計画行列
X計画行列
X'Xの転置
W係数の推定から得られる重み行列

Cookの距離

Minitabでは、Cookの距離の近似値を計算します。

計算式

表記

用語説明
hii番目の因子/共編量パターンのてこ比
i番目の因子/共変量パターンの標準化されたピアソン残差
p回帰自由度

DFITS

適合値を削除することによる影響の測定。DFITSの値が大きい観測値は外れ値になることがあります。Minitabでは、DFITSの近似値を計算します。

計算式

表記

用語説明
hiデータ点のてこ比
データ点の削除ピアソン残差

分散拡大係数(VIF: Variance Inflation Factor)

VIFを計算するには、予測変数に対して残りの予測変数と共に加重回帰を実行します。重み行列は、係数の推定でマッカロックとネルダーの手法1で得られる行列です。このケースでは、VIF計算式は線形回帰の計算式と等しくなります。たとえば、予測変数xjの場合、VIFの計算式は以下になります。

表記

用語説明
R2( xj)xjを応答変数、モデル内の他の項を予測変数とする決定係数

1. P. McCullagh、J. A. Nelder(1989)、Generalized Linear Models第2版、Chapman & Hall/CRC、London

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