2値適合線プロットの推定式を求める方法と計算式

目的の方法または計算式を選択してください。

係数

係数の最大尤推定値をみつける方法は2つあります。1つ目は、係数に関する尤度関数を直接最大化する方法です。これらの式は係数において非線形です。もう一つは、反復再重み付け最小二乗法を使用する方法であり、Minitabを使用して係数の推定値を得る方法です。マッカロックとネルダー1は、2つの方法が等しいことを示しています。ただし、反復再重み付け最小二乗法の方が容易に実行できます。詳細は1を参照してくてください。

[1] P. McCullagh、J. A. Nelder(1989)Generalized Linear Models第2版、Chapman & Hall/CRC、ロンドン

係数の標準誤差

i番目の係数の標準誤差は、分散共分散行列のi番目の対角要素の正の平方根です。分散共分散行列には以下の形式があります。

Wは対角行列であり、以下の計算式によって対角要素が求められます。

ここで

この分散共分散行列は、フィッシャーの情報行列とは対照的に、観測されたヘッセ行列に基づきます。Minitabで観測されたヘッセ行列を使用するのは、このモデルが、いかなる条件付平均値の誤設定に対してもロバスト性が高いためです。

正準リンクを使用した場合、観測されたヘッセ行列とフィッシャーの情報行列は等しくなります。

表記

用語説明
yii行目の応答値
i行目の推定平均応答
V(·)以下の表に記載されている分散関数
g(·)リンク関数
V '(·)分散関数の1番目の導関数
g'(·)リンク関数の1番目の導関数
g''(·)リンク関数の2番目の導関数

分散関数は以下のモデルによって変わります。

モデル 分散関数
二項
ポアソン

詳細は、[1]および[2]を参照してください。

[1] A. Agresti(1990)、Categorical Data Analysis、John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh、J.A. Nelder (1992)、Generalized Linear Model、Chapman & Hall

2値ロジスティック回帰のオッズ比

オッズ比は、2値応答を持つモデルに対してlogitリンク関数を選択した場合のみ提供されます。この場合、オッズ比は予測変数と応答の関係を解釈するのに役立ちます。

オッズ比(τ)はどのような非負数値にもなり得ます。オッズ比 = 1は、比較の基線になります。τ = 1の場合、応答と予測変数に関連性はありません。τ < 1の場合、事象のオッズ比は、因子の参照水準に対して(またはより低い水準の連続予測変数に対して)高くなります。τ > 1の場合、事象のオッズ比は、因子の参照水準に対して(またはより低い水準の連続予測変数に対して)低くなります。値が1から離れるほど、関連度がより強くなることを表します。

2値ロジスティック回帰モデルが共変量または因子を持つ場合、成功の推定オッズは以下になります。

指数の関係によるβの解釈: xの1単位ずつの増加に対して、オッズはeβ1を単位として乗数的に増加します。オッズ比はexp(β1)に等しくなります。

たとえば、βが.75の場合、オッズ比はexp(.75)になり、2.11となります。このことは、xの1単位ずつの増加に対して、成功のオッズ比が111%増加することを示しています。

表記

用語説明
データ内のi行目の成功の推定確率
推定切片係数
予測変数xの推定係数
i行目のデータ点

分散共分散行列

d × dの行列では、dは予測変数の個数に1を足した数です。各係数の分散は対角セル内に、係数1対ごとの共分散は、適切な非対角セル内にあります。分散は、係数を二乗したものの標準誤差です。

分散共分散行列は、情報行列を逆行列にして最後に反復したときに得られます。分散共分散行列には次の式があります。

Wは対角行列であり、対角要素は以下の計算式によって求められます。

ここで

この分散共分散行列は、フィッシャーの情報行列とは対照的に、観測されたヘッセ行列に基づきます。結果を出すモデルは条件付き平均誤特定よりもロバスト性が高いため、Minitabでは観測されたヘッセ行列を使用します。

正準リンクが使用された場合、観測されたヘッセ行列とフィッシャーの情報行列は等しくなります。

表記

用語説明
yi i行目の応答値
i行目の推定平均応答
V(·)以下の表に記載されている分散関数
g(·)リンク関数
V '(·)分散関数の1番目の導関数
g'(·)リンク関数の1番目の導関数
g''(·)リンク関数の2番目の導関数

分散関数は以下のモデルによって変わります。

モデル 分散関数
二項
ポアソン

詳細は、[1]および[2]を参照してください。

[1] A. Agresti(1990)、Categorical Data Analysis、John Wiley & Sons, Inc.

[2] P. McCullagh、J.A. Nelder(1992)、Generalized Linear Model、Chapman & Hall

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