応答曲面計画を分析の分散分析の方法と計算式

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調整平方和

調整平方和は、項をモデルに入力するときの順序に依存しません。調整平方和は、その他のすべての項が入力された順序にかかわらずモデル内に含まれる場合に、項によって説明される変動量を表します。

たとえば、3つの因子X1、X2、X3を扱うモデルがあった場合、X2の項が、調整平方和はX2の残りの変動にどれほど寄与しているのかを表します。モデル内のX1およびX3も同様です。

3つの因子の調整平方和の計算式は以下になります。

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3)または
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

上の式で、SSR(X3 | X1, X2)は、X1とX2がモデルに含まれる場合のX3の調整平方和です。

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3)または
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

上の式で、SSR(X2, X3 | X1)は、X1がモデルに含まれる場合のX2とX3の調整平方和です。

モデル1に4つ以上の因子がある場合はこの式を拡張して計算します。

  1. J. Neter、W. WassermanおよびM.H. Kutner(1985年)、Applied Linear Statistical Models第2版、Irwin, Inc.

平方和(SS)

行列項において、異なる平方和の計算式は以下になります。

Minitabでは、逐次平方和と調整平方和の両方を使って平方和モデルの成分を各項で説明される変動量に分解します。

表記

用語説明
b係数のベクトル
X計画行列
Y応答値のベクトル
n観測値数
J全て1のn×n行列

遂次平方和

Minitabでは、分散の平方和(SS)モデル成分を各因子項または因子項セットの遂次平方和に分解します。遂次平方和は、因子や予測変数をモデルに入力するときの順序によって異なります。逐次平方和は、過去に入力した項を前提とした項ごとに説明する平方和モデルの一意な部分です。

たとえば、X1、X2、およびX3という3つの因子を含むモデルがある場合、X2の遂次平方和は、X1がモデル内にすでに含まれている場合、X2によって説明される残りの変動の割合を示します。別の連続した項を得るには、分析を繰り返して異なる順序の項を入力します。

自由度(DF)

異なる平方和には異なる自由度があります。

数値因子 = 1の自由度

カテゴリ因子 = b − 1の自由度

2次項 = 1の自由度

ブロック = c − 1の自由度

誤差 = n − pの自由度

純粋誤差 = の自由度

不適合度 = m − pの自由度

自由度の合計 = n − 1

因子間の交互作用では、因子の項の自由度を積算します。たとえば、因子がAとBの場合、交互作用ABには次の自由度があります。
項の種類の自由度を見つけるには、項の自由度を合計します。たとえば、因子がAとBの場合、モデルの主効果には、次のように、さまざまな自由度があります。

Minitabのスクリーニング計画のカテゴリ因子には2つの水準があります。このため、カテゴリ因子の自由度は2 – 1 = 1です。したがって、因子間の交互作用の自由度も1です。

表記

用語説明
b因子の水準数
cブロック数
n観測値の総数
nii番目の因子水準の組み合わせの観測値数
m因子水準の組み合わせ数
p係数の数

調整平均平方~モデル

表記

用語説明
応答変数の平均
i番目の応答適合値
p定数項を含まないモデル内の項の数

調整平均平方~項

モデル項に対する平均平方(MS)の計算は次の通りです。

調整平均平方…誤差

平均平方誤差(略はMS ErrorまたはMSE、表記はs2)は適合回帰線からの分散です。式は以下になります。

表記

用語説明
yii番目の観測された応答値
i番目の適合された応答
n観測値数
p定数を含まないモデル内の係数の数

F

F統計量の計算は、次のように、仮説検定によって変わります。

F(項)
F(不適合度)

表記

用語説明
調整平均平方項モデル内に含まれるその他の項を説明した後、項によってどれだけの変動を説明できるかを測定する測度。
平均平方誤差モデルによって説明できない変動の測度。
平均平方不適合度モデルに項を追加することによってモデル化できる応答の変動を測定する測度。
平均平方純粋誤差反復応答データの変動を測定する測度。
  1. J. Neter、W. Wasserman、M.H. Kutner(1985)、Applied Linear Statistical Models第2版、Irwin, Inc.

p値~分散分析表

モデルの全体のp値は、モデル内にある全ての係数(一定係数を除く)が0であるという帰無仮説検定に使います。p値は自由度(DF)が以下であるF分布から計算される確率です。

分子DF
項の自由度の和、または検定内の項
分母DF
誤差に対する自由度

計算式

1 − P(Ffj)

表記

用語説明
P(Ff)F分布についての累積分布関数
f検定におけるF統計量

p値~不適合検定

p値は、モデルに含まれていないこれらのデータから推定することができる項で全ての係数が0であるという帰無仮説検定に使います。p値は次のような自由度(DF)のF分布から算出する確率です。
分子DF
不適合に対する自由度
分母DF
純粋誤差に対する自由度

計算式

1 − P(Ffj)

表記

用語説明
P(Ffj)F分布についての累積分布関数
fj検定におけるF統計量
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