2水準分割実験計画を作成のすべての統計量

2水準分割実験の作成(変更が難しい因子)で使用される、すべての統計量の定義と解釈について解説します。

因子

数字は、計画内の因子の数を示しています。

解釈

因子とは、実験において制御する変数のことを言います。独立変数、説明変数、予測変数とも呼ばれます。因子によって仮定できる有効値の数には限りがあり、因子水準として知られています。因子は、数値あるいはテキスト水準を持つことができます。数値因子の場合、因子となり得る値は数多くありますが、実験には特定の水準を選びます。

たとえば、プラスチックの製造過程において、プラスチックの強度に影響を与える可能性のある要因を研究しているとします。実験に添加物と温度の因子を含めます。添加物は、カテゴリ変数です。添加物は、AタイプとBタイプとします。温度は連続変数です。温度は因子なので、温度設定値は100℃と200℃の2温度のみを実験に含みます。計画に中心点が含まれる場合、数値因子は100℃、150℃、200℃の3つの水準を持つことができます。

プロット全体

数字は、計画内のプロット全体の数を示しています。

解釈

分割実験では、変更が難しい因子のレベルが数回の実行の間一定に保たれます。プロット全体は、変更が難しい因子の設定が同じである実験で構成されています。変更が簡単な因子の設定値の組み合わせは、プロット全体内で変化します。計画には通常、同じプロット全体の反復が複数含まれています。これらの反復されたプロット全体から、変更が難しい因子の統計的有意性を推定できます。

たとえば、ある品質技師がフローズンヨーグルトの舌触りに影響を与える因子を分析しようとしているとします。ヨーグルトミックスに加える空気量や混合速度は、機械の設定を変えることで簡単に変更することができます。しかし、機械の温度を変えるには、技師はまず温度設定値を変更して、ヨーグルトミックスの温度が安定するまで待たなければなりません。よって、温度はプロット全体を定義する、変更が難しい因子になります。

技師は、温度を高水準に設定して空気と混合速度の4つすべての組み合わせで実験を行い、これにより1つのプロット全体ができあがります。技師は機械の温度を変更し、その他の因子についても4つの組み合わせで実験を行います。2回目の4つの実験で2つ目のプロット全体が構成されます。計画を完成させるため、技師は最初の2つのプロット全体を反復します。計画全体には4つのプロット全体があります。

分解能

計画の分解能は、定義関係にある最短のワードの長さです。

解釈

計画の分解能は、一部実施要因計画における効果間の別名関係を表します。別名に関する詳細は、別名構造についてのセクションを参照してください。

分割実験計画では、計画の分解能はプロット全体ジェネレータにはなりません。たとえば、分解能IVの分割実験計画では、2因子交互作用とプロット全体が別名関係になります。そのような2因子交互作用は推定不可です。別名表がアウトプットにない場合、プロット全体と別名関係にあるすべての項がリストアップされます。

分解能III、IV、およびVの計画が一般的です。
分解能III
主効果どうしの別名関係はありませんが、主効果と2因子交互作用との別名関係があります。
分解能IV
主効果どうしの別名関係、または主効果と2因子交互作用の別名関係はありませんが、2因子交互作用どうしの別名関係および主効果と3因子交互作用との別名関係があります。
分解能V
主効果または2因子交互作用のいずれも他の主効果あるいは2因子交互作用との別名関係がありませんが、2因子交互作用と3因子交互作用との別名関係、および主効果と4因子交互作用との別名関係があります。

分解能の高い計画ほど、低次の項の別名関係が少なくなります。計画を作成する際、実行できる実行数と許容可能な別名構造のバランスを取る必要があります。別名関係にある項のせいで、分解能が低い計画では重要な項を特定するのが複雑かもしれませんが、分解能が低い計画は通常、より小さく手頃です。

変更が難しい因子

数字は、時間や費用の制約により完全にランダム化するのが難しい、計画に含まれる因子の数を表しています。

解釈

分割実験では、変更が難しい因子のレベルが数回の実行の間一定に保たれ、集合的にプロット全体として扱われます。たとえば、温度は調整してから安定するまでに長い時間を要するため、一般的に変更が難しい因子とされています。

変更が難しい因子は、しばしばブロック変数と混同されることがあります。しかし、ブロックと変更が難しい因子との間にはいくつかの重要な違いがあります。
  • ブロック化した計画では、ブロックは、誤差項をより正確に推定するために計画に含まれている撹乱因子です。一方、変更が難しい因子の影響は推定の対象となります。たとえば、温度がケーキの水分に与える影響などです。
  • ブロック化した実験では、ブロック変数と因子の相互作用は対象となりません。変更が難しい因子がある場合、実験における変更が難しい変数と他の因子の間の交互作用を調べる場合があります。
  • 変更が難しい因子と変更が簡単な因子を持つ計画は、2つの異なるサイズの実験単位を持ちます。変更が難しい因子には、大きい実験単位が適用されます。この実験単位内に、変更が簡単な因子を調べるための小さい実験単位が存在します。ブロック化した計画では、実験単位はすべて同じ大きさです。
  • ブロックは通常、変量因子ですが、変更が難しい因子は通常、固定因子です。
  • ブロックは、実験単位の集合です。変更が難しい因子は、実験単位に適用されます。

プロット全体あたりの実行数

数字は、計画における各プロット全体の実行数を表しています。

たとえば、大規模な製パン所で新しいブラウニーのレシピを作成するとします。2種類のオーブン温度設定で2つの等級のチョコレートと砂糖を使用して実験します。時間を節約するために、ブラウニーのトレイを一つずつ焼いていくのではなく同時に複数のトレイを焼くことにします。プロット全体は、同じ温度で焼かれたブラウニーの全トレイです。サブプロットはブラウニーの個別トレイです。プロット全体1つにつき1つのサブプロットの反復がある場合、プロット全体ごとの実行数は4です。

プロット全体 温度 チョコレート 砂糖
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 2 1
1 1 2 2

プロット全体1つにつき2つのサブプロットの反復がある場合、プロット全体ごとの実行数は8です。

プロット全体 温度 チョコレート 砂糖
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 2 1
1 1 2 2
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 2 1
1 1 2 2

一部実施要因

一部実施要因は、基本計画内の完全実施要因計画からの実行の比率を表します。たとえば、4因子の完全実施2水準計画の実行数は16です。この計画の1/2実施の実行数は8になります。

解釈

一部実施は、類似の別名構造の実行が何セット存在するかを示します。実験が1/2実施の場合、類似の別名構造で2セットの実行が存在します。1/8実施の実験では、類似の別名構造で8セットの実行が存在します。

実験計画を実行する前の重要なステップとして、すべての実行が実現可能であることを確認してください。デフォルトでは一部実施要因に対して主一部実施要因が使用されます。主一部実施要因には、すべての因子が高水準に設定されている実行が常に含まれます。この設定値の組み合わせは非現実的であったり、安全でなかったり、または費用が掛かりすぎる場合があります。一部実施要因実験で現実的でない設定値を避けるには、計画の一部実施番号を変更します。一部実施番号を変更するには、オプションサブダイアログボックスを参照してください。

実行数

数字は、計画に含まれるデータ行の数を表しています。

解釈

実行とは、応答を測定するときの各実験条件または因子水準の組み合わせです。各実行がワークシートの1行に対応し、結果として1つ以上の応答測定値、つまり観測値が得られます。たとえば、それぞれ2つの水準の因子2つが設定されている完全実施要因計画を実行するとします。この場合、実験の実行数は4回になります。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
標準順序 実行順序 ブロック 中心点 因子1 因子2 応答
1 4 1 1 −1 −1 11
2 2 1 1 1 −1 12
3 1 1 1 −1 1 10
4 3 1 1 1 1 9

実験を実行する場合は、実行順序をランダム化してください。ランダム化後の順序は、実行順序列に表示されます。

実行のセット全体が計画になります。同じ因子水準の設定値で行われる複数回の実行は、それぞれ別の実行とみなされ、反復と呼ばれます。

計画の要約表では、基本計画の実行数と合計実行数が表示されます。たとえば、因子が3、反復が2、中心点が2の一部実施要因計画を作成するとします。基本計画の実行数は4です。反復と中心点により、最終計画の全実行数は10になります。

計画の概要 因子: 3 基本計画: 3, 4 分解能: III 実行数: 10 反復: 2 一部実施要因: 1/2 ブロック: 1 中心点 (合計): 2 * 注 * いくつかの主効果は二元交互作用によって交絡されています。

プロット全体の反復

数字は基本計画の実行数を表しています。基本計画には、変更が難しい因子の各水準の組み合わせに対するプロット全体と、プロット全体に含まれるいくつかのサブプロットが含まれます。

たとえば、大規模な製パン所で新しいブラウニーのレシピを作成するとします。2種類のオーブン温度設定で2つの等級のチョコレートと砂糖を使用して実験します。時間を節約するために、ブラウニーのトレイを一つずつ焼いていくのではなく同時に複数のトレイを焼くことにします。この計画では、温度は変更が難しい(HTC)因子です。

このブラウニーの実験において、プロット全体1では同じ温度で4つのトレイが焼かれます。プロット全体2では、別の温度で4つのトレイが焼かれます。これら8つの実行で基本計画は構成されます。

反復 プロット全体 温度(HTC) 砂糖 チョコレート
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 2 1
1 1 1 2 2
1 2 2 1 1
1 2 2 1 2
1 2 2 2 1
1 2 2 2 2

プロット全体の反復は、基本計画を構成するプロット全体のすべての実行を含みます。

反復 プロット全体 温度(HTC) 砂糖 チョコレート
2 3 1 1 1
2 3 1 1 2
2 3 1 2 1
2 3 1 2 2
2 4 2 1 1
2 4 2 1 2
2 4 2 2 1
2 4 2 2 2

一部実施番号

一部実施番号は、計画に含まれる実行と、同じサイズの一部実施要因を構成する別の実行セットとを区別します。考えられる一部実施番号は、基本計画に選ぶ完全計画の一部実施サイズに依存します。たとえば、計画が¼実施要因計画の場合、考えられる一部実施番号は1、2、3、4です。一部実施要因を変更した場合に一部実施番号のみが表示されます。

解釈

Minitabでは、主一部実施番号は「一部実施要因」として表示されている数字の分母と同じです。たとえば、計画が1/8一部実施要因計画の場合は、主一部実施番号は8です。主一部実施要因は、計画ジェネレータの符号がすべて正の一部実施要因です。デフォルトでは、計画作成には主一部実施要因が使用されます。

主一部実施要因が使用できない場合は、主一部実施要因の1つ以上の因子水準の組み合わせの実行が難しいことが原因です。たとえば、主一部実施要因には常に、すべての因子が高い水準に設定されている実行が含まれます。その他の一部実施要因にはそのような実行は含まれません。すべての因子を高い水準に設定するのは費用がかかったり難しかったりする場合は、オプションのサブダイアログボックスで一部実施番号を変更することができます。

ブロック

数字は、計画内のブロックの数を示しています。

解釈

ブロックは、異なる条件下で実験が実行された場合に起こりうる差を説明します。たとえば、ある技師が溶接を分析する実験を計画し、すべてのデータを一日では収集できないとします。溶接の質は、相対湿度などの技師では制御できない、日々変わる複数の不確定要素に影響されます。これらの制御できない変数を説明するため、各日で行われた実験を個別のブロックにグループ化します。ブロックは、制御できない変数の効果とエンジニアが分析したい因子の効果が混同されないよう、制御できない変数からの変動性を説明します。Minitabで実行をブロックに割り当てる方法についての詳細は、ブロックとはを参照してください。

サブプロットの反復

数字は、プロット全体に含まれる、変更が簡単な因子に対する実行セットの数を示しています。

たとえば、大規模な製パン所で新しいブラウニーのレシピを作成するとします。2種類のオーブン温度設定で2つの等級のチョコレートと砂糖を使用して実験します。時間を節約するために、ブラウニーのトレイを一つずつ焼いていくのではなく同時に複数のトレイを焼くことにします。

プロット全体は最初の温度で焼かれたブラウニーの全トレイです。サブプロットはブラウニーの各個別トレイです。

変更が簡単な因子に対する水準の各組み合わせが1回実行された場合、プロット全体のサブプロットの反復は1回になります。
トレイ1(チョコレート1、砂糖1) トレイ2(チョコレート1、砂糖2) トレイ3(チョコレート2、砂糖1) トレイ4(チョコレート2、砂糖2)
変更が難しい因子が変わる前に、変更が簡単な因子に対する水準の各組み合わせが2回実行された場合、プロット全体のサブプロットの反復は2回になります。
トレイ1(チョコレート1、砂糖1) トレイ2(チョコレート1、砂糖2) トレイ3(チョコレート2、砂糖1) トレイ4(チョコレート2、砂糖2)
トレイ5(チョコレート1、砂糖1) トレイ6(チョコレート1、砂糖2) トレイ7(チョコレート2、砂糖1) トレイ8(チョコレート2、砂糖2)

計画ジェネレータ

計画ジェネレータは、計画に含まれる他の因子の設定値を判断するために因子を掛け合わせた式で構成されています。たとえば、計画ジェネレータD = ABCは、Dの設定値を判断するためにA、B、Cが掛け合わされていることを意味しています。

解釈

計画ジェネレータは、どの実行の一部が一部実施要因計画に入るかを決定します。たとえば、計画ジェネレータD=ABCを使用して、4因子の1/2要因計画を構築する場合、Minitabでは次の処理を実行します。
  1. 最低因子水準と最高因子水準がそれぞれ-1と+1である完全実施3因子計画を構築します。
    A B C
    –1 –1 –1
    +1 –1 –1
    –1 +1 –1
    +1 +1 –1
    –1 –1 +1
    +1 –1 +1
    –1 +1 +1
    +1 +1 +1
  2. 因子A、B、Cの設定値をすべて乗算して因子Dの実行を生成します。たとえば、1番目の実行の因子Dは、–1 × –1 × –1 = –1(最低設定値)となります。
    A B C D = ABC
    –1 –1 –1 –1
    +1 –1 –1 +1
    –1 +1 –1 +1
    +1 +1 –1 –1
    –1 –1 +1 +1
    +1 –1 +1 –1
    –1 +1 +1 –1
    +1 +1 +1 +1

因子Dの設定値はA×B×Cの設定値であるため、因子DはABCの交互作用と交絡しています。交絡している効果は、それぞれを個別に推定することはできないため、計画ジェネレータは慎重に選択する必要があります。デフォルトで、計画の因子数に対して分解能が最も高い計画を構築する計画ジェネレータが使用されます。別の計画ジェネレータを指定したい場合は、2水準要因計画(ジェネレータの指定)を作成を使用します。

変更が難しい因子

因子のリストには、計画に含まれるどの因子が、時間や費用の制約により完全にランダム化するのが難しいものであるかが示されています。

解釈

変更が難しい因子は、プロット全体を通して同じ設定値のままです。たとえば、温度は一般的な変更が難しい因子です。温度を調整するには、安定するまで長い時間がかかるためです。リストを使用して計画を特定します。

変更が難しい因子は、しばしばブロック変数と混同されることがあります。しかし、ブロックと変更が難しい因子との間にはいくつかの重要な違いがあります。
  • ブロック化した計画では、ブロックは、誤差項をより正確に推定するために計画に含まれている撹乱因子です。一方、変更が難しい因子の影響は推定の対象となります。たとえば、温度がケーキの水分に与える影響などです。
  • ブロック化した実験では、ブロック変数と因子の相互作用は対象となりません。変更が難しい因子がある場合、実験における変更が難しい変数と他の因子の間の交互作用を調べる場合があります。
  • 変更が難しい因子と変更が簡単な因子を持つ計画は、2つの異なるサイズの実験単位を持ちます。変更が難しい因子には、大きい実験単位が適用されます。この実験単位内に、変更が簡単な因子を調べるための小さい実験単位が存在します。ブロック化した計画では、実験単位はすべて同じ大きさです。
  • ブロックは通常、変量因子ですが、変更が難しい因子は通常、固定因子です。
  • ブロックは、実験単位の集合です。変更が難しい因子は、実験単位に適用されます。

プロット全体のジェネレータ

このリストでは、各プロット全体でどの項が固定されているかが表示されています。

解釈

プロット全体ジェネレータは固定されている項で、プロット全体においてどの実行がグループ化されているかを判断します。

変更が難しい因子以外の効果がプロット全体ジェネレータとなる場合は、その効果はプロット全体と別名関係になります。計画の分解能では、プロット全体のどの別名関係も説明できません。たとえば、変更が難しい因子数2、プロット全体数8、およびサブプロット4つの6因子1/2一部実施計画は分解能IVですが、プロット全体は二元交互作用と別名関係になります。「要因計画の分析」を使用すると、変更が難しい因子以外はプロット全体と別名関係にある効果はモデルから除外されます。

変更が難しい因子は常にプロット全体のジェネレータとしてリストされていますが、必ずしもプロット全体と別名関係にあるとは限りません。計画に複数のプロット全体が含まれ、変更が難しい因子の各水準がある場合、プロット全体は変更が難しい因子と別名関係にありません。たとえば、この計画には変更が難しい因子が1つ、変更が簡単な因子が3つあります。計画の順序は標準順序です。変更が難しい因子の低水準はプロット全体1と3、高水準は2と4にそれぞれ含まれています。この計画では、値がプロット全体を通して一定であるため、変更が難しい因子はプロット全体ジェネレータになります。ただし、同じ水準が別のプロット全体に含まれているため、変更が難しい因子はプロット全体と別名関係にありません。

プロット全体 A[変更が難しい] B C D
1 -1 -1 -1 -1
1 -1 1 1 -1
1 -1 1 -1 1
1 -1 -1 1 1
2 1 -1 -1 -1
2 1 1 1 -1
2 1 1 -1 1
2 1 -1 1 1
3 -1 1 -1 -1
3 -1 -1 1 -1
3 -1 -1 -1 1
3 -1 1 1 1
4 1 1 -1 -1
4 1 -1 1 -1
4 1 -1 -1 1
4 1 1 1 1

定義関係

定義関係は、一部実施要因計画の一部実施要因を定義するために固定されている項の集合です。定義関係は、どの項が別名関係にあるかを示す別名構造を計算するのに使用されます。

解釈

この結果では、5因子(A、B、C、D、E)の¼実施要因計画の定義関係と別名構造が示されています。

関係の定義:I = ABD = ACE = BCDE

交絡構造 I + ABD + ACE + BCDE A + BD + CE + ABCDE B + AD + CDE + ABCE C + AE + BDE + ABCD D + AB + BCE + ACDE E + AC + BCD + ABDE BC + DE + ABE + ACD BE + CD + ABC + ADE

Minitabでは、定義関係を使用して交絡表の各行を計算します。自身と同じ文字で乗算される文字はすべて恒等I(例、A × A = I)となります。恒等Iはどの文字で乗算してもその文字(例、I × A = A)になります。どの効果が特定の項と交絡しているかを判断するために、対象となる項に定義関係の各項を掛けた後、2次項を除外します。例として次のリストでは、定義関係を使用してBCと交絡している項を特定する方法が示されています。

(BC)(ABD) = AB2CD = ACD

(BC)(ACE) = ABC2E = ABE

(BC)(BCDE) = B2C2DE = DE

結果、BCはACD、AE、およびDEと別名関係になります。

恒等列Iは常に1の列(コード化単位)になります。つまり、この例ではI = ABDになるため、列A、B、Dの積は1の列になります。ACEとBCDEの場合も同様になります。

別名構造

別名構造は、計画において発生する交絡パターンを記述するものです。互いに交絡する項は「別名関係にある」とも言います。

別名、または交絡は、計画には因子水準のすべての組み合わせは含まれないため、一部実施要因計画において発生します。たとえば、因子Aが三元交互作用BCDと交絡する場合、Aの効果の推定値は、Aの効果とBCDの効果の合計になります。有意な効果がAによるものかBCDによるものか、あるいはその両方の組み合わせによるものかを特定できません。Minitabにおける計画の分析では、モデルに交絡項を追加することができます。項リストの後の方の項が削除されます。ただし、特定の項は常に最初に適合されます。たとえば、モデルにブロックを追加した場合、Minitabはブロック項が維持され、ブロックと別名関係にある項が削除されます。

別名構造を使用して、重要な項同士が別名関係にないことを確認することができます。別名構造が許容不可の場合、次の対応を試してみてください。
  • 因子を前回とは異なる順番でMinitabに追加して、計画を作成し直します。
  • 計画のより大きな一部実施要因を使用する。

別名構造の決定方法については、関係の定義のセクションを参照してください。

解釈

別名構造を使用して、重要な項が互いに別名関係にないことを確認します。たとえば、農業試験場の研究者が、除草剤を使わずに雑草の成長を制御する方法について研究しています。研究者たちは次の5つの因子の効果を調べるために実験を計画しました。
  • A:生育地の種類
  • B:競合植物の導入
  • C:軟体動物駆除剤の使用
  • D:囲い
  • E:殺虫剤の使用
スペースも限られ、特定の生育地を作り上げるのも時間がかかるので、他の因子は変動しても生育地のみが一定に保たれるよう、一部実施要因分割実験を計画しました。研究者たちは全員、囲い(D)と競合植物の導入(E)が重要である可能性が高いということに同意しています。

一部実施要因分割実験計画

計画の概要 因子: 5 プロット全体: 4 分解能: IV 変更が難しい因子: 1 プロット全体あたりの実行数: 4 一部実施要因: 1/2 実行数: 16 プロット全体の反復: 1 ブロック: 1 サブプロットの反復: 1

計画ジェネレータ: E = ABC

変更が難しい因子: A

プロット全体のジェネレータ: A, DE

プロット全体は、次の項で交絡しています: DE, ADE, BCD, ABCD

交絡構造 I + ABCE A + BCE B + ACE C + ABE D + ABCDE E + ABC AB + CE AC + BE AD + BCDE AE + BC BD + ACDE CD + ABDE ABD + CDE ACD + BDE

計画表

計画表には、各実験の因子設定が表示されます。計画表はワークシートよりも小さいので、スペースが限られるレポートなどに便利です。

文字は因子を表し、計画を作成した際に使用した順番に従います。各行では、「-」は因子が最低設定値、「+」は因子が最高設定値であることを表します。

解釈

計画表を使用し、各実行の因子設定と計画内の実行順序を確認します。この結果の計画表では、計画には1ブロックに32の実行が含まれていることが示されています。プロット全体と実行はランダム化されています。最初の実行では、因子A、B、Cは各因子の最高設定値、因子Dは最低設定値になっています。

計画表 (ランダム化) プロッ ト全体 実行 Blk 指標 A B C D 1 1 2 + + + - 2 1 2 + - + - 3 1 2 + + - + 4 1 2 + - - - 5 1 2 + + + + 6 1 2 + - + + 7 1 2 + + - - 8 1 2 + - - + 9 1 3 - - + - 10 1 3 - + + + 11 1 3 - + - - 12 1 3 - - - + 13 1 3 - + + - 14 1 3 - - + + 15 1 3 - - - - 16 1 3 - + - + 17 1 1 - - - - 18 1 1 - + + - 19 1 1 - - + + 20 1 1 - + - + 21 1 1 - + + + 22 1 1 - - - + 23 1 1 - - + - 24 1 1 - + - - 25 1 4 + - + - 26 1 4 + - + + 27 1 4 + + + - 28 1 4 + - - + 29 1 4 + - - - 30 1 4 + + - - 31 1 4 + + + + 32 1 4 + + - +
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