2水準要因計画(既定のジェネレータ)を作成のすべての統計量

2水準要因(既定のジェネレータ)の作成で使用されるすべての統計量の定義と解釈について解説します。

因子

数字は、計画内の因子の数を示しています。

解釈

因子とは、実験において制御する変数のことを言います。独立変数、説明変数、予測変数とも呼ばれます。因子によって仮定できる有効値の数には限りがあり、因子水準として知られています。因子は、数値あるいはテキスト水準を持つことができます。数値因子の場合、因子となり得る値は数多くありますが、実験には特定の水準を選びます。

たとえば、プラスチックの製造過程において、プラスチックの強度に影響を与える可能性のある要因を研究しているとします。実験に添加物と温度の因子を含めます。添加物は、カテゴリ変数です。添加物は、AタイプとBタイプとします。温度は連続変数です。温度は因子なので、温度設定値は100℃と200℃の2温度のみを実験に含みます。計画に中心点が含まれる場合、数値因子は100℃、150℃、200℃の3つの水準を持つことができます。

実行数

数字は、計画に含まれるデータ行の数を表しています。

解釈

実行とは、応答を測定するときの各実験条件または因子水準の組み合わせです。各実行がワークシートの1行に対応し、結果として1つ以上の応答測定値、つまり観測値が得られます。たとえば、それぞれ2つの水準の因子2つが設定されている完全実施要因計画を実行するとします。この場合、実験の実行数は4回になります。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
標準順序 実行順序 ブロック 中心点 因子1 因子2 応答
1 4 1 1 −1 −1 11
2 2 1 1 1 −1 12
3 1 1 1 −1 1 10
4 3 1 1 1 1 9

実験を実行する場合は、実行順序をランダム化してください。ランダム化後の順序は、実行順序列に表示されます。

実行のセット全体が計画になります。同じ因子水準の設定値で行われる複数回の実行は、それぞれ別の実行とみなされ、反復と呼ばれます。

計画の要約表では、基本計画の実行数と合計実行数が表示されます。たとえば、因子が3、反復が2、中心点が2の一部実施要因計画を作成するとします。基本計画の実行数は4です。反復と中心点により、最終計画の全実行数は10になります。

計画の概要 因子: 3 基本計画: 3, 4 分解能: III 実行数: 10 反復: 2 一部実施要因: 1/2 ブロック: 1 中心点 (合計): 2 * 注 * いくつかの主効果は二元交互作用によって交絡されています。

ブロック

数字は、計画内のブロックの数を示しています。

解釈

ブロックは、異なる条件下で実験が実行された場合に起こりうる差を説明します。たとえば、ある技師が溶接を分析する実験を計画し、すべてのデータを一日では収集できないとします。溶接の質は、相対湿度などの技師では制御できない、日々変わる複数の不確定要素に影響されます。これらの制御できない変数を説明するため、各日で行われた実験を個別のブロックにグループ化します。ブロックは、制御できない変数の効果とエンジニアが分析したい因子の効果が混同されないよう、制御できない変数からの変動性を説明します。Minitabで実行をブロックに割り当てる方法についての詳細は、ブロックとはを参照してください。

基本計画

表には基本計画の2つの数字が表示されています。1つ目の数字は計画に含まれる因子の数で、2つ目の数字は基本計画に含まれる実行の数です。

解釈

基本計画は、Minitabが最終計画を作成するための初期計画、または開始点です。中心点や反復を追加したり、計画を折り重ねて基本計画に実行を追加したりできます。たとえば、因子が3、反復が2、中心点が2の一部実施要因計画を作成するとします。基本計画の実行数は4です。反復と中心点により、最終計画の全実行数は10になります。

計画の概要 因子: 3 基本計画: 3, 4 分解能: III 実行数: 10 反復: 2 一部実施要因: 1/2 ブロック: 1 中心点 (合計): 2 * 注 * いくつかの主効果は二元交互作用によって交絡されています。

反復

数字は、計画内の反復の数を示しています。

解釈

反復とは、同じ因子設定(水準)で実験を複数回実行することです。1回の反復は、各因子水準の組み合わせを1回実行する基本計画と同等です。反復が2回になると、基本計画の各因子水準の組み合わせを2回(ランダムに)実行、という風に続きます。

たとえば、それぞれ2水準の因子が3つ存在するときに、因子水準の組み合わせすべてを試験する場合(完全実施要因計画)、基本計画には1回の反復と8回の実行(23)があります。反復を2回追加すると、計画には3回の反復と24回の実行が含まれます。

実験を計画する際、反復を追加するべきかどうかは次の点を考慮してください。
  • 予測モデルを作成する場合は、複数回の反復によってモデルの精度が高まる可能性があります。
  • 反復を含めると、小さな効果を検出したり、大きな検出力で固定サイズの効果を検出したりすることが可能になります。
  • 大きな因子のセットを縮約するのに使用するスクリーニング計画(2水準要因計画)には、通常反復は含まれません。
  • ご使用のリソースによっては、実行可能な反復数が制限される場合があります。たとえば、実験に極端な費用がかかる場合に、1回しか基本計画を実行できないこともあります。

反復と繰り返しの違いに関する詳細は、計画実験における反復と繰り返しを参照してください。

中心点

数字は、計画内の中心点の数を示しています。

解釈

中心点を使用して応答の曲面性を検出し純粋誤差を推定します。

中心点は、低水準と高水準の中間に数値因子が設定されている時の実行数です。たとえば、数値因子に水準100と200があるとすると、中心点は150に設定されます。テキスト値がある場合は、テキスト因子の各水準の中心点と数値因子の中間水準が足されます。たとえば、計画に水準A、Bのテキスト因子と、水準100と200の数値因子が含まれているとします。基本計画に中心点を1つ追加すると、Minitabでは水準Aと150の中心点1つと、水準Bと150の中心点1つが足されます。よって、Minitabでは、指定した各中心点に対して2つの中心点が追加されます。

計画にブロックが2つ以上ある場合、各ブロックに指定した中心点の数が足されます。たとえば、各ブロックに2つの中心点を指定し、計画にブロックを2つ指定し、その因子が数値である場合は、ブロック1に2つの中心点とブロック2に2つの中心点が足されます。

反復の数を増やしても、ブロックの数も増やさない限り追加の中心点は追加されません。たとえば、3つの中心点、2つの反復、および1つのブロックを指定した場合、計画には3つの中心点が含まれます。

詳細は、Minitabによる2水準要因計画への中心点の追加方法を参照してください。

一部実施番号

一部実施番号は、計画に含まれる実行と、同じサイズの一部実施要因を構成する別の実行セットとを区別します。考えられる一部実施番号は、基本計画に選ぶ完全計画の一部実施サイズに依存します。たとえば、計画が¼実施要因計画の場合、考えられる一部実施番号は1、2、3、4です。一部実施要因を変更した場合に一部実施番号のみが表示されます。

解釈

Minitabでは、主一部実施番号は「一部実施要因」として表示されている数字の分母と同じです。たとえば、計画が1/8一部実施要因計画の場合は、主一部実施番号は8です。主一部実施要因は、計画ジェネレータの符号がすべて正の一部実施要因です。デフォルトでは、計画作成には主一部実施要因が使用されます。

主一部実施要因が使用できない場合は、主一部実施要因の1つ以上の因子水準の組み合わせの実行が難しいことが原因です。たとえば、主一部実施要因には常に、すべての因子が高い水準に設定されている実行が含まれます。その他の一部実施要因にはそのような実行は含まれません。すべての因子を高い水準に設定するのは費用がかかったり難しかったりする場合は、オプションのサブダイアログボックスで一部実施番号を変更することができます。

分解能

計画の分解能は、定義関係にある最短のワードの長さです。たとえば、定義関係がI = ABD = ACE = BCDEの場合、ABDとACEは3文字で最短のワードなので、計画の分解能はIIIです。

解釈

計画の分解能は、一部実施要因計画における効果間の別名関係を表します。別名に関する詳細は、別名構造についてのセクションを参照してください。

分解能III、IV、およびVの計画が一般的です。
分解能III
主効果どうしの別名関係はありませんが、主効果と2因子交互作用との別名関係があります。
分解能IV
主効果どうしの別名関係、または主効果と2因子交互作用の別名関係はありませんが、2因子交互作用どうしの別名関係および主効果と3因子交互作用との別名関係があります。
分解能V
主効果または2因子交互作用のいずれも他の主効果あるいは2因子交互作用との別名関係がありませんが、2因子交互作用と3因子交互作用との別名関係、および主効果と4因子交互作用との別名関係があります。

分解能の高い計画ほど、低次の項の別名関係が少なくなります。計画を作成する際、実行できる実行数と許容可能な別名構造のバランスを取る必要があります。別名関係にある項のせいで、分解能が低い計画では重要な項を特定するのが複雑かもしれませんが、分解能が低い計画は通常、より小さく手頃です。

固定された実行数においては、効果を検出する検出力を高めるための実行数と、モデルに含むことができる項を増やすための実行数のバランスを取る必要があります。たとえば、8つの頂点と2つの中心点を持つ3因子計画は、頂点を2通りの方法で割り当てることができます。1つ目の方法は4つの因子の組み合わせを2回反復する方法です。この計画では、モデルに2因子または3因子の交互作用を含めることはできません。ただし、モデルに主効果と中心点の項のみが含まれる場合、3つの標準偏差の効果を検出する検出力は90%以上です。

点を割り当てるもう一つの方法は、8つの異なる因子の組み合わせを実行することです。計画内での各因子の組み合わせを1回実行すると、モデルにはすべての交互作用を含めることができます。ただし、モデルに2因子の交互作用、3因子の交互作用、および中心点の項が含まれている場合、3つの標準偏差の効果を検出する検出力はおよそ25%になります。

一部実施要因

一部実施要因は、基本計画内の完全実施要因計画からの実行の比率を表します。たとえば、4因子の完全実施2水準計画の実行数は16です。この計画の1/2実施の実行数は8になります。

解釈

一部実施は、類似の別名構造の実行が何セット存在するかを示します。実験が1/2実施の場合、類似の別名構造で2セットの実行が存在します。1/8実施の実験では、類似の別名構造で8セットの実行が存在します。

実験計画を実行する前の重要なステップとして、すべての実行が実現可能であることを確認してください。デフォルトでは一部実施要因に対して主一部実施要因が使用されます。主一部実施要因には、すべての因子が高水準に設定されている実行が常に含まれます。この設定値の組み合わせは非現実的であったり、安全でなかったり、または費用が掛かりすぎる場合があります。一部実施要因実験で現実的でない設定値を避けるには、計画の一部実施番号を変更します。一部実施番号を変更するには、オプションサブダイアログボックスを参照してください。

計画ジェネレータ

計画ジェネレータは、計画に含まれる他の因子の設定値を判断するために因子を掛け合わせた式で構成されています。たとえば、計画ジェネレータD = ABCは、Dの設定値を判断するためにA、B、Cが掛け合わされていることを意味しています。

解釈

計画ジェネレータは、どの実行の一部が一部実施要因計画に入るかを決定します。たとえば、計画ジェネレータD=ABCを使用して、4因子の1/2要因計画を構築する場合、Minitabでは次の処理を実行します。
  1. 最低因子水準と最高因子水準がそれぞれ-1と+1である完全実施3因子計画を構築します。
    A B C
    –1 –1 –1
    +1 –1 –1
    –1 +1 –1
    +1 +1 –1
    –1 –1 +1
    +1 –1 +1
    –1 +1 +1
    +1 +1 +1
  2. 因子A、B、Cの設定値をすべて乗算して因子Dの実行を生成します。たとえば、1番目の実行の因子Dは、–1 × –1 × –1 = –1(最低設定値)となります。
    A B C D = ABC
    –1 –1 –1 –1
    +1 –1 –1 +1
    –1 +1 –1 +1
    +1 +1 –1 –1
    –1 –1 +1 +1
    +1 –1 +1 –1
    –1 +1 +1 –1
    +1 +1 +1 +1

因子Dの設定値はA×B×Cの設定値であるため、因子DはABCの交互作用と交絡しています。交絡している効果は、それぞれを個別に推定することはできないため、計画ジェネレータは慎重に選択する必要があります。デフォルトで、計画の因子数に対して分解能が最も高い計画を構築する計画ジェネレータが使用されます。別の計画ジェネレータを指定したい場合は、2水準要因計画(ジェネレータの指定)を作成を使用します。

因数で折り重ね

因数での折り返しは、折り重ねが全ての因子に対してなのか、単一の因子に対してなのかを示します。

解釈

計画が折り重ねられている場合、新しい実行は、折り重ねる因子に対する符号を反対にして基本計画の各実行に追加されます。その他のすべての因子は、基本計画と同じ水準のまま保たれます。折り重ねに関する詳細については、折り重ねとはを参照してください。

折り重ねは、別名関係を小さくする一つの方法です。別名、または交絡は、計画には因子水準のすべての組み合わせは含まれないため、一部実施要因計画において発生します。たとえば、因子Aが三元交互作用BCDと交絡する場合、Aの効果の推定値は、Aの効果とBCDの効果の合計になります。有意な効果がAによるものかBCDによるものか、あるいはその両方の項によるものかを特定できません。

分解能IV計画は、すべての因子で折り重ねた分解能III計画から取得できます。1つの因子で折り重ねると、その因子に関係する全ての項は、その項に関係しない項と別名関係になることはありません。すべての因子で折り重ねると、どの主効果にも、すべての2因子交互作用の影響が含まれなくなります。

たとえば、因子が3、実行数が4の計画を作成するとします。

元の一部実施要因
A B C
+
+
+
+ + +
すべての因子で折り重ねた場合
すべての因子で折り重ねると、計画に4つの実行が追加され、2セット目の実行では各因子の符号が反対になります。
A B C
+
+
+
+ + +
+ +
+ +
+ +
因子Aで折り重ねた場合
1つの因子で折り重ねると、計画に4つの実行が追加され、指定した因子の符号のみが反対になります。他の因子の符号はそのままです。これらの行は、ワークシートの最後に追加されます。
A B C
+
+
+
+ + +
+ +
+ +
+ +

定義関係と折り重ね

計画を折り重ねた場合、相互に交絡する項が少なくなるので、通常は定義関係または計画の交絡構造が短くなります。特に、すべての因子で折り重ねると、奇数の文字を持つ定義関係内のすべてのワードが省略されます。ある1つの因子で折り重ねると、その因子を含むすべてのワードが定義関係から除外されます。たとえば、5つの因子を含む計画を考えます。折り重ねられていない計画と、折り重ねられた計画(すべての因子で折り重ねられた計画と、因子Aで折り重ねられた計画)の定義関係は次のとおりです。
折り重なれていない計画
I + ABD + ACE + BCDE
折り重なれた計画
I + BCDE

ブロックがある計画を折り重ねると、ブロックごとの実行数は倍になります。折り重ねられた計画は、折り重ねられていない計画と同じブロック生成子を持ちます。

計画を折り重ねても定義関係が短くならないときは、反復が追加されるだけで、交絡は減りません。この場合、Minitabではワークシートに計画は作成されず、エラーメッセージが表示されます。

ブロック生成子

ブロック生成子は、どの実行(または因子水準の組み合わせ)が各ブロックに入るかを決定する項です。デフォルトで、分解能が最も高い計画を構築するブロック生成子が使用されます。

解釈

ブロック生成子を使用して、実行がブロックに対してどう割り当てられるかを決定します。反復数がブロック数の倍数でない場合、計画ではブロック生成子が使用されます。たとえば、1つの反復と2つのブロックを持つ4因子計画の1/2実施要因を構築する場合、ABがブロック生成子として使用されます。Minitabでは次の処理が行われます。
  1. 最低因子水準と最高因子水準がそれぞれ-1と+1である標準順序の4因子計画の½実施要因を構築します。
    A B C D
    –1 –1 –1 –1
    +1 –1 –1 +1
    –1 +1 –1 +1
    +1 +1 –1 –1
    –1 –1 +1 +1
    +1 –1 +1 –1
    –1 +1 +1 –1
    +1 +1 +1 +1
  2. 因子A、Bの設定値をすべて乗算してブロックの実行を生成します。ブロック生成子と同じ値の行は、同じブロックに割り当てられます。たとえば、最初の実行のAB値が−1 × −1 = 1で、2回目の実行の値が1 × −1 = −1だとします。これらの実行はそれぞれ別のブロックに割り当てられます。
    A B C D AB ブロック
    –1 –1 –1 –1 +1 1
    +1 –1 –1 +1 –1 2
    –1 +1 –1 +1 –1 2
    +1 +1 –1 –1 +1 1
    –1 –1 +1 +1 +1 1
    +1 –1 +1 –1 –1 2
    –1 +1 +1 –1 –1 2
    +1 +1 +1 +1 +1 1
  3. 実行をブロックごとにグループ化します。その後ブロックとブロック内の実行の順番をランダム化します。
A B C D AB ブロック
+1 –1 +1 –1 –1 2
–1 +1 +1 –1 –1 2
–1 +1 –1 +1 –1 2
+1 –1 –1 +1 –1 2
+1 +1 +1 +1 +1 1
+1 +1 –1 –1 +1 1
–1 –1 +1 +1 +1 1
–1 –1 –1 –1 +1 1

別名構造

別名構造は、計画において発生する交絡パターンを記述するものです。互いに交絡する項は「別名関係にある」とも言います。

別名、または交絡は、計画には因子水準のすべての組み合わせは含まれないため、一部実施要因計画において発生します。たとえば、因子Aが三元交互作用BCDと交絡する場合、Aの効果の推定値は、Aの効果とBCDの効果の合計になります。有意な効果がAによるものかBCDによるものか、あるいはその両方の組み合わせによるものかを特定できません。Minitabにおける計画の分析では、モデルに交絡項を追加することができます。項リストの後の方の項が削除されます。ただし、特定の項は常に最初に適合されます。たとえば、モデルにブロックを追加した場合、Minitabはブロック項が維持され、ブロックと別名関係にある項が削除されます。

別名構造を使用して、重要な項同士が別名関係にないことを確認することができます。別名構造が許容不可の場合、次の対応を試してみてください。
  • 因子を前回とは異なる順番でMinitabに追加して、計画を作成し直します。
  • 計画のより大きな一部実施要因を使用します。
  • 計画を折り重ねます。
  • 別の計画ジェネレータを指定します。
  • 計画に含まれる因子の数が7以下の場合、別名構造は、別名関係にある項をすべて表示します。
  • 計画に含まれる因子の数が8~10の場合は、別名構造は、3因子交互作用までの別名の項を表示します。
  • 計画に含まれる因子の数が11~15の場合は、別名構造は、2因子交互作用までの別名の項を表示します。

別名構造の決定方法については、関係の定義のセクションを参照してください。

解釈

この計画では、別名構造表はいくつかの項が互いに交絡していることを示しています。たとえば、表の2本目の線は、因子Aが項BD、CE、およびABCDEと交絡していることを表しています。3本目の線は因子Bが項AD、CDE、およびABCEと交絡していることを示しています。

この計画を作成した技師は、交互作用ABは重要な項であり、他のどの主効果とも別名関係にしたくないと考えています。しかし、別名構造は、ABは因子Dと別名関係にあると示しています。その他に、BC、DE、BE、CDを含む他の主効果と別名関係にない二元交互作用がいくつかあるということが分かりました。因子のサブダイアログボックスで、Minitabに追加する因子の順番を変更することで、技師はABが他の主効果と別名関係にない計画を作成することができます。技師は計画を作成しなおし、因子Aをダイアログボックスの1行目ではなく3行目に入力します。

一部実施要因計画

計画の概要 因子: 5 基本計画: 5, 8 分解能: III 実行数: 8 反復: 1 一部実施要因: 1/4 ブロック: 1 中心点 (合計): 0 * 注 * いくつかの主効果は二元交互作用によって交絡されています。

計画ジェネレータ: D = AB, E = AC

交絡構造 I + ABD + ACE + BCDE A + BD + CE + ABCDE B + AD + CDE + ABCE C + AE + BDE + ABCD D + AB + BCE + ACDE E + AC + BCD + ABDE BC + DE + ABE + ACD BE + CD + ABC + ADE

計画表

計画表には、各実験の因子設定が表示されます。計画表はワークシートよりも小さいので、スペースが限られるレポートなどに便利です。

列の先頭の文字は因子を表し、計画を作成した際に使用した順番で並んでいます。各行では、「-」は因子が最低設定値、「+」は因子が最高設定値であることを表します。0は中心点を表します。数値因子は最低と最高設定値の中間に設定されています。

解釈

計画表を使用し、各実行の因子設定と計画内の実行順序を確認します。この結果の計画表では、総実行数は32で、4つのブロックに16回の実行が示されています。ブロックと実行順序はランダム化されています。計画には中心点は含まれていないため、0を含む行は存在しません。最初の実行で、因子A、B、およびCは高水準、因子DとEは低水準に設定されています。

計画表は、実行が難しかったり不可能であったりする実験を特定するのにも使用できます。たとえば、この一部実施要因計画では5つの因子に対して16回の実行が使用されます。実行31ではすべての因子が高水準にあるので、これが完全計画の主一部実施要因であることが分かります。この因子設定の組み合わせでの実行が不可能である場合、計画を作成しなおしてオプションのサブダイアログボックスから別の一部実施要因を選ぶことができます。

Design Table (randomized) Run Block A B C D E 1 2 + + + - - 2 2 - - + - - 3 2 + + - + - 4 2 - - - - + 5 2 + + + + + 6 2 - - + + + 7 2 + + - - + 8 2 - - - + - 9 3 + - + - + 10 3 - + + + - 11 3 - + - - - 12 3 + - - + + 13 3 - + + - + 14 3 + - + + - 15 3 + - - - - 16 3 - + - + + 17 1 + - - - - 18 1 - + + - + 19 1 + - + + - 20 1 - + - + + 21 1 - + + + - 22 1 + - - + + 23 1 + - + - + 24 1 - + - - - 25 4 - - + - - 26 4 - - + + + 27 4 + + + - - 28 4 - - - + - 29 4 - - - - + 30 4 + + - - + 31 4 + + + + + 32 4 + + - + -

定義関係

定義関係は、一部実施要因計画の一部実施要因を定義するために固定されている項の集合です。定義関係は、どの項が別名関係にあるかを示す別名構造を計算するのに使用されます。

解釈

この結果では、5因子(A、B、C、D、E)の¼実施要因計画の定義関係と別名構造が示されています。

関係の定義:I = ABD = ACE = BCDE

交絡構造 I + ABD + ACE + BCDE A + BD + CE + ABCDE B + AD + CDE + ABCE C + AE + BDE + ABCD D + AB + BCE + ACDE E + AC + BCD + ABDE BC + DE + ABE + ACD BE + CD + ABC + ADE

Minitabでは、定義関係を使用して交絡表の各行を計算します。自身と同じ文字で乗算される文字はすべて恒等I(例、A × A = I)となります。恒等Iはどの文字で乗算してもその文字(例、I × A = A)になります。どの効果が特定の項と交絡しているかを判断するために、対象となる項に定義関係の各項を掛けた後、2次項を除外します。例として次のリストでは、定義関係を使用してBCと交絡している項を特定する方法が示されています。

(BC)(ABD) = AB2CD = ACD

(BC)(ACE) = ABC2E = ABE

(BC)(BCDE) = B2C2DE = DE

結果、BCはACD、AE、およびDEと別名関係になります。

恒等列Iは常に1の列(コード化単位)になります。つまり、この例ではI = ABDになるため、列A、B、Dの積は1の列になります。ACEとBCDEの場合も同様になります。

本サイトを使用すると、分析およびコンテンツのカスタマイズのためにクッキーが使用されることに同意したことになります。  当社のプライバシーポリシーをご確認ください