要因計画の分析の主要な結果を解釈する

要因計画を分析するには、次の手順を実行します。主要な出力は、パレート図、p値、係数、モデル要約統計量、残差プロットです。

ステップ1:応答の変動性に最も寄与する項を特定する

パレート図は、主効果と交互作用効果について、相対的重要度と統計的有意性の両方を比較するために使用します。図には次のように効果のタイプが表示されます。
  • モデルに誤差項が含まれていない場合、図には非標準化効果の絶対値が表示されます。
  • モデルに誤差項が含まれている場合、図には標準化効果の絶対値が表示されます。

Minitabでは、効果が絶対値の大きなものから小さなものに向かってプロットされます。管理図上の参照ラインは、効果の有意性を示します。参照線の作成には、デフォルトで有意水準0.05が使用されます。誤差項がないときは、レンス法で参照線が作成されます。

主要な結果:パレート図

この結果では、4つの主効果は統計的に有意です(α = 0.05)。この有意な効果には、主効果が4個すべて含まれています。すなわち、材料タイプ(A)、射出圧力(B)、射出温度(C)、および冷却温度(D)です。

また、射出圧力(B)は最も長く延びているため、これが最大の効果を持つこともわかります。射出圧力と冷却温度の交互作用(BD)の効果は、最も短いので最小です。

ステップ2:応答に対して統計的に有意な効果を持つ項を特定する

モデルにおける応答と各項の間の関係が統計的に有意かどうか判断するには、項のp値と有意水準を比較して帰無仮説を評価します。この帰無仮説は、項の係数は0に等しく、項と応答に関連性がないという仮定です。通常は、有意水準(αまたはアルファとも呼ばれる)として0.05が適切です。0.05の有意水準は、実際には関連性がない場合でも、関連性が存在すると結論付けてしまうリスクが5%であるということを示します。
p値 ≤ α:関連性は統計的に有意です
p値が有意水準以下の場合は、応答変数と項の間に統計的に有意な関連性が存在すると結論付けることができます。
p値 > α:その関連性は統計的に有意ではありません
p値が有意水準より大きい場合は、応答変数と項の間に統計的に有意な関連性があると結論付けることはできません。項を持たないモデルを再適合したいと考えるかもしれません。
応答との間に統計的に有意な関連性がない予測変数が複数存在する場合は、一度に1つずつ項を削除することによってモデルを縮約できます。モデルからの項の削除の詳細は、モデルの縮約化を参照してください。
モデル項が統計的に有意な場合、解釈は項のタイプによって異なります。解釈は以下のとおりです。
  • 因子の係数が有意な場合は、すべての水準平均が等しいとは限らないと結論付けることができます。
  • 共変量の係数が有意な場合は、その変数の値の変化は平均応答値の変化と関連します。
  • 交互作用項の係数が有意な場合は、因子と応答の間の関係はその項の他の因子に依存します。こうしたケースでは、交互作用の影響を考慮せずに主要な影響を解釈すべきではありません。
コード化係数 係数の標 項 効果 係数 準誤差 t値 p値 VIF 定数 56.0 21.0 2.66 0.056 測定温度 -1.229 0.979 -1.25 0.278 5.87 材料 5.316 2.658 0.678 3.92 0.017 3.23 射出圧力 5.645 2.822 0.401 7.04 0.002 1.13 射出温度 4.355 2.177 0.378 5.76 0.005 1.00 冷却温度 -3.457 -1.729 0.420 -4.12 0.015 1.24 材料*射出圧力 -0.723 -0.361 0.415 -0.87 0.433 1.21 材料*射出温度 -1.025 -0.512 0.443 -1.16 0.312 1.38 材料*冷却温度 -0.208 -0.104 0.510 -0.20 0.848 1.82 射出圧力*射出温度 -0.837 -0.419 0.510 -0.82 0.458 1.82 射出圧力*冷却温度 -0.055 -0.027 0.382 -0.07 0.947 1.03 射出温度*冷却温度 1.933 0.966 0.381 2.54 0.064 1.02
主要な結果:p値、係数

この結果では、材料、射出圧力、射出温度、および冷却温度の主効果は有意水準0.05において統計的に有意です。この結果から、これらの変数の変化は応答変数の変化に関連付けられていると結論付けることができます。

このモデルにおいては測定温度が共変量となります。主効果の係数は、共変量の1単位分の増加に対する平均応答の変化を表し、モデル内の他の全ての項は固定されます。温度が1単位増加する毎に、平均強度の推定値は-1.229下がります。

二元交互作用項は統計的に有意ではありません。各変数と応答の関係は、他の変数の値に依存しない可能性があります。

ステップ3:データに対するモデルの適合度を判断する

データに対するモデルの適合度を判断するために、モデル要約表の適合度統計量を調査します。

S

Sを使い、モデルがどの程度良好に応答を表示するか判断します。R2統計量の代わりにSを使い、定数を持たないモデルの適合を比較します。

Sは応答変数の単位で測定され、データ値と適合値がどの程度離れているかの標準偏差を表します。Sの値が小さければ小さいほど、モデルによる応答の記述が良好になります。ただし、Sの値が小さいだけでは、そのモデルが仮定を満たしているとは言い切れません。残差プロットを確認して仮定を検証する必要があります。

R二乗

R2値が大きくなるほど、モデルのデータへの適合度は上がります。R2は常に0~100%の間の値になります。

R2はモデルに新しい予測変数を追加すると必ず大きくなります。たとえば、最適な5予測変数モデルのR2は必ず、最適な4予測変数モデルと少なくとも同じ大きさになります。したがって、R2値は同じ大きさのモデルの比較に最も便利です。

R二乗(調整済み)

異なる数の予測変数を持つモデルを比較する場合は、調整済みR2を使用します。R2はモデルに予測変数を追加すると、それがモデルを改善しないとしても必ず大きくなります。調整済みR2値にはモデルに含まれる予測変数の数が組み入れられるため、正しいモデルの選択に役立ちます。

R二乗(予測)

予測R2を使用して、モデルが新しい観測値に対する応答をどの程度良好に予測するかを判断します。予測R2値が大きいモデルの予測能力は優れています。

R2よりも大幅に低い予測R2は、モデルの過剰適合を示している可能性があります。過剰適合は、母集団には重要でない項を追加した場合に起こります。その結果モデルはサンプルデータに即してしまい、母集団の予測に適さなくなる可能性があります。

予測R2は、モデル計算に含まれていない観測値によって計算されるため、モデルを比較する場合は調整済みR2より便利です。

R2の値を解釈するとき、以下の点を考慮してください。
  • サンプルサイズが小さい場合、応答と予測との間の関係の強さが正確に推定されません。より正確なR2が必要な場合、サンプルサイズを大きくする必要があります(40以上が一般的です)。
  • R2は、データに対するモデルの適合度を測る1つの測度に過ぎません。モデルのR2が大きくても残差プロットを確認してモデルが仮定を満たしているか検証する必要があります。
主要な結果:S、R二乗、R二乗(調整済み)、R二乗(予測)

この結果でモデルは、98.02%の光出力の変動を説明しています。これらのデータで、R2値はモデルが良好にデータに適合していることを示しています。新しいモデルが別の予測変数と適合する場合は、調整済みR2値と予測R2値を使ってモデルの適合度を比較してください。

因子回帰: 強度対測定温度, 材料, 射出圧力, 射出温度, 冷却温度

分散分析 調整平 要因 自由度 調整平方和 均平方 F値 p値 モデル 11 451.357 41.032 17.99 0.007 共変量 1 3.591 3.591 1.58 0.278 測定温度 1 3.591 3.591 1.58 0.278 線形 4 304.587 76.147 33.39 0.002 材料 1 35.053 35.053 15.37 0.017 射出圧力 1 113.068 113.068 49.59 0.002 射出温度 1 75.533 75.533 33.12 0.005 冷却温度 1 38.666 38.666 16.96 0.015 2元交互作用 6 20.309 3.385 1.48 0.366 材料*射出圧力 1 1.732 1.732 0.76 0.433 材料*射出温度 1 3.045 3.045 1.34 0.312 材料*冷却温度 1 0.095 0.095 0.04 0.848 射出圧力*射出温度 1 1.538 1.538 0.67 0.458 射出圧力*冷却温度 1 0.012 0.012 0.01 0.947 射出温度*冷却温度 1 14.694 14.694 6.44 0.064 誤差 4 9.121 2.280 合計 15 460.478
モデル要約 R二乗 (調 R二乗 S R二乗 整済み) (予測) 1.51005 98.02% 92.57% 70.86%
コード化係数 係数の標 項 効果 係数 準誤差 t値 p値 VIF 定数 56.0 21.0 2.66 0.056 測定温度 -1.229 0.979 -1.25 0.278 5.87 材料 5.316 2.658 0.678 3.92 0.017 3.23 射出圧力 5.645 2.822 0.401 7.04 0.002 1.13 射出温度 4.355 2.177 0.378 5.76 0.005 1.00 冷却温度 -3.457 -1.729 0.420 -4.12 0.015 1.24 材料*射出圧力 -0.723 -0.361 0.415 -0.87 0.433 1.21 材料*射出温度 -1.025 -0.512 0.443 -1.16 0.312 1.38 材料*冷却温度 -0.208 -0.104 0.510 -0.20 0.848 1.82 射出圧力*射出温度 -0.837 -0.419 0.510 -0.82 0.458 1.82 射出圧力*冷却温度 -0.055 -0.027 0.382 -0.07 0.947 1.03 射出温度*冷却温度 1.933 0.966 0.381 2.54 0.064 1.02
非コード化単位の回帰式 強度 = 52.7 - 1.229 測定温度 + 10.43 材料 + 0.216 射出圧力 + 0.007 射出温度 - 1.357 冷却温度 - 0.0096 材料*射出圧力 - 0.0683 材料*射出温度 - 0.0104 材料*冷却温度 - 0.00149 射出圧力*射出温度 - 0.00007 射出圧力*冷 却温度 + 0.01288 射出温度*冷却温度
交絡構造 因子 名前 A 材料 B 射出圧力 C 射出温度 D 冷却温度
別名 I - 5.42 ABC + 28.92 ABD - 9.04 ACD - 10.85 BCD + 45.19 ABCD A + 0.15 ABC - 0.77 ABD + 0.24 ACD + 0.29 BCD - 1.21 ABCD B - 0.03 ABC + 0.19 ABD - 0.06 ACD - 0.07 BCD + 0.29 ABCD C - 0.01 ABC + 0.03 ABD - 0.01 ACD - 0.01 BCD + 0.05 ABCD D - 0.05 ABC + 0.25 ABD - 0.08 ACD - 0.09 BCD + 0.39 ABCD AB + 0.04 ABC - 0.24 ABD + 0.07 ACD + 0.09 BCD - 0.37 ABCD AC + 0.06 ABC - 0.32 ABD + 0.10 ACD + 0.12 BCD - 0.50 ABCD AD - 0.09 ABC + 0.47 ABD - 0.15 ACD - 0.18 BCD + 0.74 ABCD BC + 0.09 ABC - 0.47 ABD + 0.15 ACD + 0.18 BCD - 0.74 ABCD BD + 0.02 ABC - 0.08 ABD + 0.03 ACD + 0.03 BCD - 0.13 ABCD CD - 0.01 ABC + 0.07 ABD - 0.02 ACD - 0.03 BCD + 0.11 ABCD

ステップ4:モデルが分析の仮説を満たすかどうか判断する

残差プロットを使用して、モデルが適切か、分析の仮定が満たされているかどうかを判断しやすくします。仮定を満たさない場合、そのモデルはデータにあまり適合しない可能性があり、結果の解釈は慎重に行う必要があります。

残差プロットのパターンを処理する方法の詳細は要因計画の分析の残差プロットを参照し、ページ上部にある一覧の中から残差プロット名をクリックしてください。

残差対適合値プロット

以下の表にあるパターンは、このモデルが、モデルの仮説を満たさないことを示している可能性があります。
パターン パターンが示す意味
残差が適合値周辺に扇状または不均等に分散している 不均一分散
曲線 高次の項の欠損
ゼロから遠い点 外れ値
ある点が他の点からX軸方向に遠く離れている 影響力のある点

残差対適合値プロットを使用して、残差はランダムに分布し、均一な分散が存在するという仮定を検証します。点が特徴的なパターンは無く、0の両側にランダムに来るのが理想的です。

残差対順序プロット

残差対データ順序プロットを使用して、残差が互いから独立しているという仮定を検証します。独立している残差は、時間順で表示した場合にトレンドやパターンを示しません。点にパターンがある場合、互いに近い残差は相関している可能性があり、独立していないことを示しています。プロットの残差が中心線の周りにランダムに来るのが理想的です。
パターンがある場合は原因を調査します。パターンが次のタイプである場合、残差が従属している可能性を示しています。
トレンド
シフト
周期

残差の正規確率プロット

残差の正規確率プロットを使用して、残差が正規分布に従うという仮定を検証します。残差の正規確率プロットは、ほぼ直線になります。

以下の表にあるパターンは、このモデルが、モデルの仮説を満たさないことを示している可能性があります。

パターン パターンが示す意味
直線ではない 非正規性
直線から離れた点 外れ値
傾きが変化する 未確認の変数
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