一般多変量分散分析の多変量分散分析(MANOVA)検定の方法と計算式

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ウィルクの検定

検定の統計量、ウィルクのλは、

で、pqと(rt – 2u)は自由度です。

表記

用語説明
H仮説行列
E誤差行列
p応答数
q仮説の自由度
vEの自由度
smin (p, q)
m.5 ( | p – q | – 1)
n.5 (v – p – 1)
rv – 0.5 (p – q + 1)
u0.25(pq – 2)
t= Sqrt ([p2 q2 - 4] / p2 + q2 - 5(p2 + q2 - 5 > 0の場合)
t1

λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λpは(E** - 1) * Hの固有値です。最初の3つの検定統計量は、HとE、あるいはこれらの固有値のいずれかの形式で表記することができます。

H行列は平方和「間」を各p変数の対角要素に含むp×pの行列です。H行列は次のように計算されます。

E行列は平方和「内」を各p変数の対角要素に含むp×pの行列です。E行列は次のように計算されます。

最初の3つの検定で、F-統計量はs = 1または2のときは正確ですが、そうでない場合は近似値となります。検定が近似値の場合はその旨が示されます。

ローリー・ホートリングの検定

検定統計量、ローリー・ホートリングのトレース基準は、

で、s (2m + s + 1)と2 (sn + 1)は自由度です。

表記

用語説明
H仮説行列
E誤差行列
p応答数
q仮説の自由度
vEの自由度
smin (p, q)
m.5 ( | p – q | – 1)
n.5 (v – p – 1)
rv – 0.5 (p – q + 1)
u0.25(pq – 2)
t= Sqrt ([p2 q2 - 4] / p2 + q2 - 5(p2 + q2 - 5 > 0の場合)
t1

λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λpは(E** - 1) * Hの固有値です。最初の3つの検定統計量は、HとE、あるいはこれらの固有値のいずれかの形式で表記することができます。

H行列は平方和「間」を各p変数の対角要素に含むp×pの行列です。H行列は次のように計算されます。

E行列は平方和「内」を各p変数の対角要素に含むp×pの行列です。E行列は次のように計算されます。

最初の3つの検定で、F-統計量はs = 1または2のときは正確ですが、そうでない場合は近似値となります。検定が近似値の場合はその旨が示されます。

ピライの検定

検定統計量、ピライのトレースは、

表記

用語説明
H仮説行列
E誤差行列
p応答数
q仮説の自由度
vEの自由度
smin (p, q)
m.5 ( | p – q | – 1)
n.5 (v – p – 1)
rv – 0.5 (p – q + 1)
u0.25(pq – 2)
t= Sqrt ([p2 q2 - 4] / p2 + q2 - 5(p2 + q2 - 5 > 0の場合)
t1

λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λpは(E** - 1) * Hの固有値です。最初の3つの検定統計量は、HとE、あるいはこれらの固有値のいずれかの形式で表記することができます。

H行列は平方和「間」を各p変数の対角要素に含むp×pの行列です。H行列は次のように計算されます。

E行列は平方和「内」を各p変数の対角要素に含むp×pの行列です。E行列は次のように計算されます。

最初の3つの検定で、F-統計量はs = 1または2のときは正確ですが、そうでない場合は近似値となります。検定が近似値の場合はその旨が示されます。

ロイの最大根検定

最大固有値、λ1です。検定を完了させるには、パラメータs、m、nと共にヘック表と呼ばれる特殊な表を使い有意水準を抽出する必要があります。

これらの表については、「ヘック1」を参照してください。

表記

用語説明
smin (p, q)
m.5 ( | p – q | – 1)
n.5 (v – p – 1)

λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λpは(E** - 1) * Hの固有値です。最初の3つの検定統計量は、HとE、あるいはこれらの固有値のいずれかの形式で表記することができます。

  1. D.L. Heck (1960), "Charts of Some Upper Percentage Points of the Distribution of the Largest Characteristic Root," The Annals of Statistics, 625–642.
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