一般線形モデルを適合の主要な結果を解釈する

一般線形モデルを解釈するには、次の手順を実行します。主要な結果には、p値、係数、R2、残差プロットが含まれています。

ステップ1:応答と項の関連が統計的に有意かどうかを判断する

モデルにおける応答と各項の間の関係が統計的に有意かどうか判断するには、項のp値と有意水準を比較して帰無仮説を評価します。この帰無仮説は、項と応答に関連性がないという仮定です。通常は、有意水準(αまたはアルファとも呼ばれる)として0.05が適切です。0.05の有意水準は、実際には関連性がない場合でも、関連性が存在すると結論付けてしまうリスクが5%であるということを示します。
p値 ≤ α:関連性は統計的に有意です
p値が有意水準以下の場合は、応答変数と項の間に統計的に有意な関連性が存在すると結論付けることができます。
p値 > α:その関連性は統計的に有意ではありません
p値が有意水準より大きい場合は、応答変数と項の間に統計的に有意な関連性があると結論付けることはできません。項を持たないモデルを再適合したいと考えるかもしれません。
応答との間に統計的に有意な関連性がない予測変数が複数存在する場合は、一度に1つずつ項を削除することによってモデルを縮約できます。モデルからの項の削除の詳細は、モデルの縮約化を参照してください。
モデル項が統計的に有意な場合、解釈は項のタイプによって異なります。解釈は以下のとおりです。
  • 固定因子が有意な場合は、すべての水準平均が等しいとは限らないと結論付けることができます。
  • 変量因子が有意な場合は、その因子が応答の変動量に寄与していると結論できます。
  • 交互作用項が有意な場合は、因子と応答の間の関係はその項の他の因子に依存します。こうしたケースでは、交互作用の影響を考慮せずに主要な影響を解釈すべきではありません。
  • 共変量が統計的に有意な場合、その共変量の値の変化は平均応答値の変化と関連すると結論付けることができます。
  • 多項式項が有意な場合は、データに曲面性が含まれると結論付けることができます。
係数 係数の標 項 係数 準誤差 t値 p値 VIF 定数 -4969 191 -25.97 0.000 Temperature 83.87 3.13 26.82 0.000 301.00 GlassType 1 1323 271 4.89 0.000 3604.00 2 1554 271 5.74 0.000 3604.00 Temperature*Temperature -0.2852 0.0125 -22.83 0.000 301.00 Temperature*GlassType 1 -24.40 4.42 -5.52 0.000 15451.33 2 -27.87 4.42 -6.30 0.000 15451.33 Temperature*Temperature*GlassType 1 0.1124 0.0177 6.36 0.000 4354.00 2 0.1220 0.0177 6.91 0.000 4354.00
主要な結果:p値、係数

これらの結果で、ガラスの種類と温度に対する主効果は、有意水準0.05において統計的に有意です。この結果から、これらの変数の変化は応答変数の変化に関連付けられていると結論付けることができます。

実験で使用した3種類のガラスのうち、出力では2種類のガラスに対する係数が表示されています。デフォルトでは完全な多重共線性を避けるために1つの因子水準が削除されます。-1、0、+1のコード化スキームで分析されているため、主効果の係数は各水準毎の平均と全体平均の差を表します。たとえば、ガラス種類1は全体平均より1323単位強い光出力と関連付けられています。

このモデルにおいては温度が共変量となります。主効果の係数は、共変量の1単位分の増加に対する平均応答の変化を表し、モデル内の他の全ての項は固定されます。温度が1度上がる毎に、平均光出力は83.87単位ずつ増加します。

ガラスの種類と温度は共に統計的に有意な高次の項に含まれています。

ガラスの種類と温度に対する二元交互作用と三元交互作用の項は統計的に有意です。これらの交互作用は各変数と応答の関係は他の変数に依存することを示しています。たとえば、ガラスの種類が光出力に与える影響力は温度に依存します。

多項式項、温度*温度は、温度と光出力の関係における曲面性が統計的に有意であることを示しています。

交互作用効果や曲面性を考慮することなしに主効果を解釈しないでください。モデルにおける主効果、交互作用効果、および曲面性に関してより理解を深めるには、因子プロット応答の最適化機能を参照してください。

ステップ2: データに対するモデルの適合度を判断する

データに対するモデルの適合度を判断するために、モデル要約表の適合度統計量を調査します。

S

Sを使い、モデルがどの程度良好に応答R2統計量の変わりにSを使い、定数を持たないモデルの適合を比較する

Sは応答変数の単位で測定され、データ値と適合値がどの程度離れているかを示す標準偏差を表しています。Sの値が小さければ小さいほど、モデルによる応答の記述が良好になります。しかし、Sの値が小さいことだけで、そのモデルが仮定を満たしているとはいえません。残差プロットを確認し、仮定を検証する必要があります。

R二乗

R2値が大きくなるほど、モデルのデータへの適合度は上がります。R2は常に0~100%の間の値になります。

R2は、モデルに予測変数を追加すると必ず大きくなります。たとえば、最適な5予測変数モデルのR2は必ず、最適な4予測変数モデルと少なくとも同じ大きさになります。したがって、R2値は同じ大きさのモデルを比較する際に最も有益です。

R二乗(調整済み)

予測変数の数が異なるモデルを比較する場合は、調整済みR2を使用します。モデルに予測変数を追加すると、そのモデルが実質的に改善されなかった場合でも、R2は常に大きくなります。調整済みR2値にはモデルに含まれる予測変数の数が組み入れられるため、正しいモデルの選択に役立ちます。

R二乗(予測)

予測R2を使用して、モデルが新しい観測値に対する応答をどの程度良好に予測するかを判断します 予測R2値が大きいモデルの予測能力は優れています。

R2よりも大幅に低い予測R2は、モデルの過剰適合を示している可能性があります。過剰適合モデルは、母集団において重要でない項を追加した場合に起こります。その結果モデルはサンプルデータに適合してしまい、母集団の予測に適さなくなる可能性があります。

予測R2は、モデル計算に含まれていない観測値によって計算されるため、モデルを比較する場合は調整済みR2より便利です。

R2値を解釈する際は次のポイントを考慮してください。
  • サンプルサイズが小さい場合、応答と予測の関係の強さが正確に推定されません。より正確なR2が必要な場合、サンプルサイズを大きくする必要があります(40以上が一般的です)。

  • R2は、データに対するモデルの適合度をを測る1つの測度にすぎません。モデルのR2が大きい場合でも、残差プロットを確認し、モデルが仮定を満たしているか検証する必要があります。

モデル要約 R二乗 (調 R二乗 S R二乗 整済み) (予測) 19.1185 99.73% 99.61% 99.39%
主要な結果:S、R二乗、R二乗(調整済み)、R二乗(予測)

この結果でモデルは、フェースプレートガラスのサンプルにおける99.73%の光出力の変動を説明しています。これらのデータで、R2値はモデルが良好にデータに適合していることを示しています。新しいモデルが別の予測変数と適合する場合は、調整済みR2値と予測R2値を使ってモデルの適合度を比較してください。

ステップ3:モデルが分析の仮説を満たすかどうか判断する

残差プロットを使用して、モデルが適切か、分析の仮定が満たされているかどうかを判断しやすくします。仮定を満たさない場合、そのモデルはデータにあまり適合しない可能性があり、結果の解釈は慎重に行う必要があります。

残差プロットのパターンを処理する方法の詳細は一般線形モデルを適合の残差プロットを参照し、ページ上部にある一覧の中から残差プロット名をクリックしてください。

残差対適合値プロット

残差対適合値プロットを使用して、残差はランダムに分布し、均一な分散が存在するという仮定を検証します。点に特徴的なパターンがなく、0の両側にランダムにくるのが理想的です。

以下の表にあるパターンは、このモデルが、モデルの仮説を満たさないことを示している可能性があります。
パターン パターンが示す意味
残差が適合値周辺に扇状または不均等に分散している 不均一分散
曲線 高次の項の欠損
ゼロから遠い点 外れ値
ある点が他の点からX軸方向に遠く離れている 影響力のある点
この残差対適合値プロット上の点は、データ=ゼロの周囲にランダムに分布しているように見えます。残差の値が適合値によって変わる根拠はありません。

残差対順序プロット

残差対データ順序プロットを使用して、残差が互いから独立しているという仮定を検証します。独立している残差は、時間順で表示した場合にトレンドやパターンを示しません。点にパターンがある場合、互いに近い残差は相関している可能性があり、独立していないことを示しています。プロットの残差が中心線の周りにランダムに来るのが理想的です。
パターンがある場合は原因を調査します。パターンが次のタイプである場合、残差が従属している可能性を示しています。
トレンド
シフト
周期
この残差対順序プロットでは、残差は中心線の周りにランダムに配置されているように見えます。残差が独立していないという証拠は存在しません。

残差の正規確率プロット

残差の正規確率プロットを使用して、残差が正規分布に従うという仮定を検証します。残差の正規確率プロットは、ほぼ直線になります。

以下の表にあるパターンは、このモデルが、モデルの仮説を満たさないことを示している可能性があります。
パターン パターンが示す意味
直線ではない 非正規性
直線から離れた点 外れ値
変化する傾き 未確認の変数
この正規確率プロットでは、点がほぼ直線に沿っています。非正規性、外れ値、または未確認の変数の証拠は存在しません。
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