Démonstration du théorème de la limite centrale

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Selon le théorème de la limite centrale, si des échantillons aléatoires présentant un effectif n sont prélevés de façon répétitive dans une population avec une moyenne finie, mu(y), et un écart type, sigma(y), lorsque n est élevé, la loi de distribution des moyennes de l'échantillon sera approximativement normale avec une moyenne égale à mu(y) et un écart type égal à (sigma(y))/sqrt(n).

Examinez les effets du théorème central limite en prenant pour exemple l'expérience suivante. Supposons que vous lanciez un dé 1000 fois. Vous pouvez vous attendre à obtenir environ le même nombre de 1, de 2, etc. Examinons la distribution de 1 000 lancers. Le graphique 1 illustre les résultats. Le graphique 1 illustre les résultats.

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Supposons maintenant que vous lanciez le dé deux fois et effectuiez la moyenne des deux lancers. Vous répétez cette expérience 1000 fois également. Reportez-vous au graphique 2 pour voir à quoi ressemble la loi de distribution des moyennes des deux lancers. Le graphique 2 illustre les résultats.

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Avez-vous remarqué qu'avec deux lancers seulement la loi de distribution des moyennes prend déjà la forme d'un dôme ? Supposons que vous lanciez maintenant le dé trois fois et que vous calculiez la moyenne des trois lancers. Répétez également cette expérience 1000 fois. Observez les effets de cette opération sur la loi de distribution des moyennes. Le graphique 3 illustre les résultats.

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La forme de la loi de distribution est à nouveau très proche de celle d'une loi normale. Avez-vous remarqué un autre effet sur la loi de distribution ?

Jetons le dé cinq fois et prenons la moyenne des lancers. Répétez également cette expérience 1000 fois. Le graphique 4 illustre les résultats.

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Commencez-vous à distinguer une tendance ?

Continuons à augmenter le nombre de lancers dont nous faisons la moyenne. Cette fois, vous lancerez le dé dix fois et établirez la moyenne des 10 lancers. Le graphique 5 illustre les résultats.

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Désormais, vous devez observer deux phénomènes au fur et à mesure de l'augmentation du nombre de lancers. Vous devez d'abord constater que la forme de la loi de distribution des moyennes commence réellement à prendre la forme d'une loi normale. Ensuite, vous constaterez qu'au fur et à mesure de l'augmentation du nombre de lancers, la loi de distribution devient de plus en plus étroite. Continuons à augmenter le nombre de lancers. Cette fois, lancez le dé 20 fois. Le graphique 6 illustre les résultats.

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Vous devriez maintenant être convaincu des effets de l'augmentation de l'effectif d'échantillon sur la loi de distribution des moyennes d'échantillon. Augmentez l'effectif d'échantillon encore une fois pour appuyer cette démonstration. Cette fois, lancez le dé 30 fois. Le graphique 7 illustre les résultats.

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Résumons nos observations.

Dessinez les histogrammes pour les échantillons d'effectif 2, 5, 10, 20 et 30 sur un même graphique afin d'observer les changements dans la loi de distribution.

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Le théorème de la limite centrale nous indique ce que vous auriez dû observer en théorie. Comparons cela à ce que vous avez constaté :

Résultats théoriques Résultats observés ------------------- ---------------- Effectif d'échantillon Moyenne Ecart type Moyenne Ecart type ------ ---- --------- ----- --------- 1 3,5 1,707825 3,453 1,7041 2 3,5 1,207615 3,527 1,2320 3 3,5 0,986013 3,546 0,9503 5 3,5 0,763763 3,481 0,7532 10 3,5 0,540062 3,506 0,5289 20 3,5 0,381879 3,510 0,3891 30 3,5 0,311805 3,507 0,3148