Méthodes et formules pour la fonction Test de Wilcoxon à 1 échantillon

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Sur ce thème

Moyennes deux à deux
Médiane estimée
Statistique de Wilcoxon
Valeur de p
Intervalle de confiance

Moyennes deux à deux

Les moyennes deux à deux (ou moyennes de Walsh) sont les moyennes de chaque paire de valeurs possible de votre ensemble de données, y compris la paire de chaque valeur avec elle-même.

Formule

= toutes les moyennes deux à deux pour i ≤ j.

= nombre total de moyennes deux à deux

Notation

Terme	Description
Y_i	i^e valeur de l'ensemble de données
Y_j	j^e valeur de l'ensemble de données
n	effectif d'échantillon

Médiane estimée

Soit W_{( 1 )} < W_{( 2 )} < ... < W_{( M )} les valeurs ordonnées de moyennes deux à deux (aussi appelées moyennes de Walsh), où M = n(n+1)/2. Si M est impair, la médiane estimée est la valeur centrale. Si M est pair, la médiane estimée est la moyenne des deux valeurs centrales. Minitab obtient l'estimation ponctuelle de la médiane de la population à l'aide d'un algorithme issu de Johnson et Mizoguchi (1978)¹.

D.B. Johnson et T. Mizoguchi (1978), "Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm", SIAM Journal of Computing 7, pp. 147-153.

Statistique de Wilcoxon

La statistique de Wilcoxon est le nombre de moyennes deux à deux (aussi appelées moyennes de Walsh) supérieures à la médiane hypothétisée, plus la moitié du nombre de moyennes deux à deux égales à la médiane hypothétisée. La statistique de Wilcoxon est notée W. Minitab obtient la statistique de test à l'aide d'un algorithme issu de Johnson et Mizoguchi (1978)¹.

D.B. Johnson et T. Mizoguchi (1978), "Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm", SIAM Journal of Computing 7, pp. 147-153.

Valeur de p

La statistique de test de Wilcoxon, W, est la somme des rangs associés aux observations qui dépassent la médiane hypothétisée. Minitab calcule la statistique de test à l'aide de moyennes deux à deux (moyennes de Walsh), comme décrit dans Johnson et Mizoguchi¹:

Le nombre d'observations, N, est réduit d'un pour chaque observation égale à la médiane hypothétisée. L'effectif d'échantillon obtenu est n.
Excluez toutes les observations égales à la médiane hypothétisée. Calculez n(n + 1) / 2 moyennes deux à deux de Walsh (Y_i + Y_j) / 2 pour i ≤ j dans les observations.

Pour les grands échantillons, la loi de distribution de W est approximativement normale. Plus spécifiquement :

est approximativement distribué selon une loi normale avec une moyenne de 0 et un écart type de 1, N(0,1).

La valeur de p de l'approximation selon la loi normale pour les trois hypothèses alternatives utilise une correction de continuité de 0,5.

Hypothèse alternative	Valeur de p
H₁ : médiane > médiane hypothétisée
H₁ : médiane < médiane hypothétisée
H₁ : médiane ≠ médiane hypothétisée

Notation

Terme	Description
n	nombre observé de points de données après omission des observations égales à la valeur médiane hypothétisée
W	statistique de test de Wilcoxon
w	nombre de moyennes de Walsh dépassant la médiane hypothétisée, plus la moitié du nombre de moyennes de Walsh égales à la médiane hypothétisées.
k

D.B. Johnson et T. Mizoguchi (1978), "Selecting the Kth Element in X + Y and X1 + X2 + ... + Xm", SIAM Journal of Computing 7, pp. 147-153.

Intervalle de confiance

L'intervalle de confiance est l'ensemble des valeurs (d) pour lesquelles le test de l'hypothèse H₀ : médiane = d n'est pas rejeté en faveur de H₁ : médiane ≠ d, avec un intervalle de confiance (α = 1 - (pourcentage de confiance) / 100). Le test de Wilcoxon à 1 échantillon ne permet pas toujours d'obtenir le niveau de confiance que vous spécifiez, car la statistique du test de Wilcoxon est discrète. C'est pourquoi Minitab utilise une approximation selon la loi normale avec une correction de continuité pour calculer le niveau de confiance atteignable.