Méthodes et formules pour la fonction 2 variances

Formule

L'écart type est égal à la racine carrée de la variance.

Notation

Terme	Description
	moyenne de l'échantillon i
S2i	variance de l'échantillon i
Xij	je mesure du ie échantillon
ni	effectif de l'échantillon i

Formule pour la statistique de test

Lorsque n₁ = n₂ , la statistique de test est Z². Si l'hypothèse nulle, ρ = ρ₀ est vraie, alors Z² est distribué selon la loi de Khi deux avec 1 degré de liberté. Z² s'obtient comme suit :

où ErT(ρ₀) est l'erreur type de l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

où r_i = ( n_i - 3) / n_i et est l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ErT²(ρ₀) peut également s'exprimer en termes de valeurs d'aplatissement de chaque échantillon, , comme suit :

où :

Formule pour la valeur de p

Si z² est la valeur de Z² obtenue à partir des données. Dans l'hypothèse nulle, H₀ : ρ = ρ₀ , Z est distribué selon la loi de distribution normale standard. Donc, les valeurs de p pour les hypothèses alternatives (H₁) s'obtiennent comme suit.

Notation

Terme	Description
Si	écart type de l'échantillon i
ρ	rapport des écarts types de la population
ρ0	rapport hypothétisé des écarts types de la population
α	seuil de signification pour le test = 1 - (niveau de confiance / 100)
ni	nombre d'observations dans l'échantillon i
	valeur de l'aplatissement pour l'échantillon i
Xij	je observation de l'échantillon i
mi	moyenne tronquée pour l'échantillon i avec des proportions de troncage de

Formule

Lorsque n₁ ≠ n₂ , il n'existe aucune statistique de test. En revanche, la valeur de p est calculée en inversant la procédure de l'intervalle de confiance. La valeur de p pour le test s'obtient comme suit :

P = 2 min (α_L, α_U)

où α_L est la plus petite valeur de α pour laquelle ce qui suit est vrai :

et α_U est la plus petite valeur de α pour laquelle ce qui suit est vrai :

où c_α est une constante égalisatrice décrite ci-dessous et ErT(ρ₀) est l'erreur type pour l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

où r_i = (n_i - 3) / n_i et est l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ErT(ρ₀) peut également s'exprimer en termes de valeurs d'aplatissement de chaque échantillon. Pour plus d'informations, consultez la section consacrée au test pour la méthode de Bonett avec des plans équilibrés.

Constante égalisatrice

La constante c_α est incluse afin d'ajuster légèrement l'échantillon pour réduire l'effet de queues inégales sur le calcul des probabilités d'erreur dans les plans non équilibrés. La valeur de c_α s'obtient comme suit :

La constante disparaît lorsque les plans sont équilibrés et son effet devient négligeable lorsque les effectifs d'échantillons augmentent.

Trouver α_L et α_U

Trouver α_L et α_U équivaut à trouver les zéros des fonctions L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂ ) et L(z , n₂ , n₁ , S₂ , S₁ ), où L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂) s'obtient comme suit :

Soit :

Pour calculer α_U, effectuez les étapes précédentes en utilisant la fonction L(z, n₂, n₁, S₂, S₁), au lieu de la fonction L(z, n₁, n₂, S₁, S₂).

Notation

Terme	Description
Si	écart type de l'échantillon i
ρ	rapport des écarts types de la population
ρ0	rapport hypothétisé des écarts types de la population
α	seuil de signification pour le test = 1 - (niveau de confiance / 100)
zα	point de percentile supérieur α de la loi normale standard
ni	nombre d'observations dans l'échantillon i
Xij	je observation de l'échantillon i
mi	moyenne tronquée pour l'échantillon i avec des proportions de troncage de

Formule

Les intervalles de confiance s'obtiennent en inversant la procédure de test. Plus précisément, Minitab résout l'équation suivante pour ρ :

où c_α/2 est une constante égalisatrice (décrite ci-dessous) et ErT(ρ) est l'erreur type pour l'aplatissement regroupé (décrit ci-dessous). Généralement, cette équation a deux solutions : L < S₁ / S₂, et U > S₁ / S₂. L est la limite de confiance la plus basse, et U est la limite de confiance la plus haute. Pour plus d'informations, consultez le livre blanc sur la méthode de Bonett, qui contient des simulations et d'autres renseignements.

Les limites de confiance pour le taux de variance s'obtiennent en mettant les limites de confiance du rapport des écarts types au carré.

Constante égalisatrice

La constante c_α est incluse afin d'ajuster légèrement l'échantillon pour réduire l'effet de queues inégales sur le calcul des probabilités d'erreur dans les plans non équilibrés. La valeur de c_α s'obtient comme suit :

La constante disparaît lorsque les plans sont équilibrés et son effet devient négligeable lorsque les effectifs d'échantillons augmentent.

Erreur type de l'aplatissement regroupé

ErT(ρ) est l'erreur type de l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

où r_i = (n_i - 3) / n_i et est l'aplatissement regroupé, qui s'obtient comme suit :

ErT(ρ) peut également être exprimé en termes de valeurs d'aplatissement de chaque échantillon. Pour plus d'informations, consultez la section consacrée au test pour la méthode de Bonett avec des plans équilibrés.

Notation

Terme	Description
α	seuil de signification pour le test = 1 - (niveau de confiance / 100)
Si	écart type de l'échantillon i
ρ	rapport des écarts types de la population
zα/2	point de percentile supérieur α/2 de la loi normale standard
ni	nombre d'observations dans l'échantillon i
Xij	je observation de l'échantillon i
mi	moyenne tronquée pour l'échantillon i avec des proportions de troncage de

Formule

Le test de Levene est adapté pour les données continu. Il n'est pas disponible pour les données résumées.

Pour tester l'hypothèse nulle σ₁ / σ₂ = ρ avec le test de Levene, Minitab effectue une ANOVA unilatérale sur les valeurs Z_1j et ρZ_2j (où j = 1, …, n₁ ou n₂).

La statistique de test de Levene est égale à la valeur de la statistique F dans le tableau de résultats ANOVA. La valeur de p du test de Levene est égale à la valeur de p dans ce tableau ANOVA.

• H. Levene (1960), Contributions to Probability and Statistics, Stanford University Press, CA.
• M. B. Brown et A.B. Forsythe (1974), "Robust Tests for the Equality of Variance", Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

Degrés de liberté

Selon l'hypothèse nulle, la statistique de test suit une distribution F avec les degrés de liberté DL1 et DL2.

DL1 = 1

DL2 = n₁ + n₂ – 2

Notation

Formule

Pour les données continues, Minitab calcule les limites de confiance pour le rapport (ρ) entre les écarts types de la population avec les formules suivantes. Pour obtenir les limites pour le rapport entre les variances de la population, mettez les valeurs ci-dessous au carré.

Notation

Terme	Description
t α	la valeur critique α d'une distribution t avec n1 + n2 – 2 degrés de liberté
ηi	médiane de l'échantillon i
Zij	où j = 1, 2, ... , ni et i = 1, 2, et Xij sont des observations individuelles
Mi	moyenne de Zij
Si2	variance de l'échantillon de Zij
vi
ρ	σ1 / σ2
n  1	effectif du premier échantillon
n  2	effectif du deuxième échantillon

Le test F est adapté aux données normales. Pour tester l'hypothèse nulle σ₁ / σ₂ = ρ avec le test F, Minitab utilise les formules suivantes.

Formule pour la statistique de test

Formule pour les degrés de liberté

Selon l'hypothèse nulle, la statistique F suit une loi de distribution F avec les degrés de liberté DL1 et DL2.

DL1 = n₁ – 1

DL2 = n₂ – 1

Formule pour la valeur de p

Notation

Lorsque les données suivent une distribution normale, Minitab calcule les bornes de confiance pour le rapport (ρ) entre les écarts types de la population avec les formules suivantes. Pour obtenir les bornes pour le rapport entre les variances de la population, mettez les valeurs ci-dessous au carré.

Formule

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative de type "non égal à", l'intervalle de confiance à 100(1 – α) % pour ρ s'obtient comme suit :

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative de type "inférieur à", la borne de confiance supérieure pour ρ, à un niveau de confiance de 100(1 – α) %, s'obtient comme suit :

Lorsque vous indiquez une hypothèse alternative de type "supérieur à", la borne de confiance inférieure pour ρ, à un niveau de confiance de 100(1 – α) %, s'obtient comme suit :

Notation