Méthodes et formules pour Test augmenté de Dickey-Fuller

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Sur ce thème

Modèles de régression
Hypothèses
Statistique de test
Valeurs p approximatives de MacKinnon
Détermination de l’ordre de décalage

Modèles de régression

Les calculs utilisent les définitions suivantes :

Terme	Description
	les valeurs des séries chronologiques observées dans le temps = 1, ..., T
	la différence de deux observations consécutives au temps t, , où t = 2, ..., T
	le terme constant dans un modèle de régression
	le coefficient d’une tendance temporelle linéaire dans un modèle de régression
	le coefficient d’une tendance temporelle quadratique dans un modèle de régression
	l’ordre de décalage du processus autorégressif
	le terme d’erreur indépendant en série au temps t pour t = 2, ..., T

Le test de racine unitaire (ADF) de Dickey-Fuller augmentée utilise des estimations de régression des moindres carrés ordinaires. Les spécifications de l’analyse dans Minitab Statistical Software définissent les coefficients constants, linéaires et quadratiques sur 0.

Un modèle avec seulement un coefficient constant
Un modèle avec un coefficient constant et un coefficient linéaire
Un modèle avec un coefficient constant, un coefficient linéaire et un coefficient quadratique
Un modèle sans coefficients de régression

Hypothèses

Chaque test augmenté de Dickey-Fuller utilise les hypothèses suivantes :

Hypothèse nulle, H₀:

Hypothèse alternative, H₁:

L’hypothèse nulle dit qu’une racine unitaire se trouve dans l’échantillon de série chronologique, ce qui signifie que la moyenne des données n’est pas stationnaire. Le rejet de l’hypothèse nulle indique que la moyenne des données est stationnaire ou stationnaire de tendance, selon le modèle du test.

Statistique de test

La statistique de test pour l’ADF se présente sous la forme suivante :

où

Terme	Description
	l’estimation du coefficient le moins carré de l' coefficient
	l’erreur-type de l’estimation des moindres carrés de l' coefficient du modèle de régression

Valeurs p approximatives de MacKinnon

Dans l’hypothèse nulle, la distribution asymptotique de la statistique de test ne suit pas une loi standard. Fuller (1976)¹ provides a table with common percentiles of the asymptotic distribution. MacKinnon (1994², 2010³) applique des approximations de surface de réponse aux données simulées afin de fournir une valeur p approximative pour toute valeur de la statistique de test ADF.

Si les spécifications de l’analyse utilisent 0,01, 0,05 ou 0,1 comme niveau de signification, l’évaluation de l’hypothèse nulle compare la statistique de test à la valeur critique pour ce niveau de signification. Si la statistique de test est inférieure ou égale à la valeur critique, rejetez l’hypothèse nulle.

Si les spécifications de l’analyse donnent un niveau de signification différent, alors l’évaluation de l’hypothèse nulle compare la valeur approximative de p au niveau de signification. Si la valeur de p est inférieure au niveau de signification, rejetez l’hypothèse nulle.

Valeurs critiques pour les niveaux de signification 0,01, 0,05 et 0,1

Mackinnon (2010) fournit la formule générale suivante pour le calcul de la valeur critique pour trois niveaux de signification : 0,01, 0,05 et 0,1 :

où n est le nombre d’observations que l’analyse utilise pour s’adapter au modèle de régression. Les valeurs pour et proviennent des tables de MacKinnon (2010). Si la statistique de test est inférieure ou égale à la valeur critique, rejetez l’hypothèse nulle.

Valeurs p approximatives

Le calcul de la valeur approximative de p provient de Mackinnon (1994). Comparez la valeur de p au niveau de signification pour prendre une décision. Si la valeur de p est inférieure ou égale au niveau de signification, rejetez l’hypothèse nulle.

Détermination de l’ordre de décalage

La conduction d’un ADF nécessite la spécification de l’ordre de décalage pour le modèle de régression. Les spécifications de l’analyse fournissent les ordres de décalage à évaluer. L’ordre maximal par défaut d’évaluation se présente sous la forme suivante :

Le choix de l’ordre de décalage dépend du critère dans les spécifications de l’analyse. Si les spécifications de l’analyse n’incluent pas de critère, alors le modèle de régression pour le test est l’ordre maximal de p.

Dans les calculs pour déterminer l’ordre de décalage, le nombre d’observations dépend de l’ordre de décalage maximal tel que m = n – p – 1.

où

Terme	Description
n	nombre total d'observations
p	l’ordre de décalage maximal des termes différents qui se trouvent dans le modèle

Le calcul de chaque critère suit :

Critère d'information d'Akaike (AIC)

L’analyse évalue un modèle de régression pour chaque ordre de décalage dans les spécifications de l’analyse. L’ordre de décalage pour le test est le modèle de régression avec la valeur minimale de l’AIC.

où

Terme	Description
m	le nombre d’observations qui dépend de l’ordre de décalage maximal
k	le nombre de coefficients dans le modèle, y compris la constante si le modèle de régression a une constante non nulle
RSS	la somme résiduelle des carrés du modèle de régression

Critère d’information Bayésien (BIC)

où

Terme	Description
m	le nombre d’observations qui dépend de l’ordre de décalage maximal
k	le nombre de coefficients dans le modèle, y compris la constante si le modèle de régression a une constante non nulle
RSS	la somme résiduelle des carrés du modèle de régression

statistique t

Lorsque le critère est la statistique t, l’analyse commence par le modèle de régression avec l’ordre de décalage maximal pour l’analyse. L’analyse commence par le modèle de régression où l’ordre de décalage est p et réduit l’ordre séquentiellement. L’ordre de décalage pour le test est le premier modèle de régression où le terme de décalage d’ordre le plus élevé est significatif au niveau de 0,05. La statistique t se présente sous la forme suivante :

où i = 1, ..., p

Terme	Description
	l’estimation des moindres carrés de l' coefficient dans le modèle de régression
	l’erreur-type de l’estimation des moindres carrés de l' coefficient dans le modèle de régression

¹ Fuller, W. A. (1976). Introduction to statistical time series. New York, Wiley.

² MacKinnon, J. G. (1994). Approximate asymptotic distribution functions for unit-root and cointegration tests. Journal of Business and Economic Statistics, 12, 167-176.

³ MacKinnon, J. G. (2010). Critical values for cointegration tests: Working paper 1227. Queen's University, Department of Economics.