Méthodes et formules pour la fonction ARIMA

Les coefficients sont estimés à l'aide d'un algorithme itératif qui calcule les estimations par la méthode des moindres carrés. A chaque itération, les prévisions rétrospectives sont calculées, tout comme la SCE. Pour plus de détails, reportez-vous à Box et Jenkins¹.

L'algorithme ARIMA est basé sur le programme d'ajustement du logiciel TSERIES écrit par le Professeur William Q. Meeker, Jr., de l'Iowa State University². Nous sommes reconnaissants au Professeur Meeker pour son aide dans l'adaptation de son programme à Minitab.

Les prévisions rétrospectives sont calculées à l'aide du modèle indiqué et des estimations des paramètres pour l'itération. Pour plus de détails, reportez-vous à Cryer³.

Formule

Notation

Terme	Description
n	nombre total d'observations
	valeurs résiduelles utilisant les estimations de paramètres de cette itération, prévisions rétrospectives comprises

Formule

Notation

Formule

Pour un modèle comportant un terme constant :

(n – d) – p – q – 1

Pour un modèle sans terme constant :

(n – d) – p – q

Notation

Formule

Somme des carrés / Degrés de liberté

Formule

Notation

Terme	Description
n	nombre total d'observations
d	nombre de différences
K	12, 24, 36, 48
k	décalage
	autocorrélation des valeurs résiduelles pour le ke décalage

Formule

Pour un modèle comportant un terme constant :

K – p – q – 1

Pour un modèle sans terme constant :

K – p – q

Notation

Formule

P(X < χ²)

Notation

Formule

Les prévisions sont calculées de manière récursive en fonction du modèle et des estimations des paramètres. Par exemple, si un modèle ARIMA est ajusté avec 1 terme autorégressif (AR(1)) et un terme de différenciation saisonnière avec une période de saisonnalité de 12, le modèle suivant est ajusté :

Y_t – Y_t–12 = γ + Φ(Y_t–1 – Y_t–12–1)

Pour déterminer , la première prévision, où k est l'instant d'origine, trouvez :

Trouvez ensuite , de la même manière, et ainsi de suite.

Pour calculer l'intervalle de prévision à 95 % de la prévision, vous devez d'abord calculer les pondérations.

où , pour j < 0 et pour j > q.

Notation

Terme	Description
Yt	valeur réelle à l'instant t
Φ	terme autorégressif
	terme autorégressif estimé
γ	terme constant
d	nombre de différences
p	nombre de paramètres autorégressifs
q	nombre de paramètres de moyenne mobile
	terme de moyenne mobile estimé
	terme constant estimé
CM	carré moyen de l'erreur