Méthodes pour Ajuster le modèle de Cox sous forme de processus de comptage

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Le formulaire de saisie du processus de comptage
Observations corrélées et robuste estimateur de covariance

Pour chaque sujet soit être la fonction d’étape qui représente le nombre d’événements qui font l’objet expériences jusqu’au temps . Alors représente un processus de comptage pour le sujet . Soit être une variable indicatrice qui a la valeur 1 si le sujet i est à risque au temps t et 0 sinon, ce qui équivaut à si et sinon

Le modèle des dangers proportionnels de Cox suppose que le taux de danger à un moment donné

pour les individus

avec un vecteur de valeurs prédictrices

, se calcule selon la formule suivante :

où est le taux de danger de référence qui caractérise la distribution non spécifiée du temps de survie et est un vecteur p-composante de coefficients de régression inconnus.

Par exemple, une formulation du modèle des risques proportionnels de Cox en tant que processus de comptage basé sur Andersen et al. (1993)¹ and Fleming and Harrington (1991)², en supposant qu’il n’y ait pas de temps d’événement lié, a une probabilité partielle logarithmique sous la forme suivante :

Le vecteur des dérivées partielles par rapport aux composantes de

, se calcule selon la formule suivante :

La matrice d'information p par p a la forme suivante :

où la moyenne pondérée des sujets à risque à un moment donné

, se calcule selon la formule suivante :

Cette formulation du modèle des dangers proportionnels de Cox est le modèle des dangers multiplicatifs. Le modèle des dangers multiplicatifs présente les caractéristiques suivantes :

Le sujet peut vivre plus d’un événement d’intérêt.
Le sujet peut vivre un événement plusieurs fois. Cet énoncé signifie que la variable indicatrice qui identifie si le sujet est à risque, , peut changer d’état de 1 à 0 et revenir plusieurs fois.
Le sujet peut entrer dans l’étude après le temps 0. Cette déclaration équivaut à l’idée qu’un sujet peut entrer dans l’ensemble de risques après le temps 0. Un temps est tronqué à gauche lorsque le sujet entre après le temps 0.

Therneau (1999)³ fournit des détails sur la forme de saisie des données du processus de comptage. La forme d’entrée de données du processus de comptage fournit une technique permettant d’adapter le modèle des dangers multiplicatifs avec les mêmes algorithmes que le modèle des dangers proportionnels de Cox.

Le formulaire de saisie du processus de comptage

Dans le formulaire de saisie du processus de comptage, plusieurs lignes représentent chaque sujet. Chaque ligne décrit un intervalle de temps où les valeurs de toutes les variables sont constantes. Les prédicteurs dépendant du temps changent entre les lignes. Les intervalles commencent juste après l’heure de début et incluent l’heure de fin. L’heure de début de l’intervalle est l’heure d’entrée du sujet. L’heure de fin est la variable de réponse pour le sujet. La colonne de censure indique toute ligne où l’heure de fin n’est pas une heure d’événement.

Observations corrélées et robuste estimateur de covariance

Bien que plusieurs lignes représentent chaque sujet dans le formulaire de saisie du processus de comptage, une seule ligne des observations par sujet contribue à la probabilité à chaque fois, à moins qu’il n’existe une corrélation entre les observations d’un sous-groupe qui se rapportent à chaque sujet. Par exemple, les observations du sujet sont corrélées dans des modèles qui incluent des événements répétés ou récurrents. Lin et Wei (1989)⁴ proposer un ajustement de la matrice de covariance pour tenir compte de la corrélation entre les observations à l’intérieur du sujet. Soit être la matrice des scores résiduels. La matrice de variance/covariance a la forme suivante :

où et est la matrice résiduelle du score réduit. Pour obtenir la matrice résiduelle de score réduit, remplacez chaque groupe de lignes résiduelles de score par la somme de ces lignes résiduelles.

Une analyse qui utilise la matrice variance-covariance robuste présente les caractéristiques suivantes :

Les calculs d’inférences utilisent la matrice variance-covariance robuste.
Les tests Wald et Score du tableau Goodness-of-Fit utilisent la robuste matrice variance-covariance. Le test du rapport de vraisemblance dans le tableau Goodness-of-Fit est manquant car le test du rapport de vraisemblance suppose que les observations au sein d’un cluster sont indépendantes.
La table ANOVA ne peut utiliser que le test de Wald.

¹ Andersen, P. K., Borgon, O., Gill, R.D., et Keiden, N. (1993). Statistical models based on counting processes. Springer-Verlag.

² Fleming, T. R., and Harrington, D. P. (1991). Counting processes and survival analysis. Wiley.

³ Therneau, T.M. (1999). Technical report series No. 53: A package for survival analysis in S.

⁴ Lin, D.Y. & Wei, L.J. (1989). The robust inference for the Cox proportional hazards model. Journal of the American Statistical Association, 84 (408), 1074-1078. https://doi.org/10.1080/01621459.1989.10478874