Méthodes pour la fonction Etude de stabilité pour des lots aléatoires

Forme générale du modèle mixte

Les modèles à effets mixtes contiennent des effets fixes et aléatoires. La forme générale du modèle à effets mixtes est la suivante :

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

Notation

Formes particulières du modèle mixte

L'étude de stabilité ajuste deux modèles avec un facteur de lot aléatoire. Le plus grand modèle contient la durée, le facteur de lot aléatoire et l'interaction aléatoire entre la durée et le lot.

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ε

Le plus petit modèle contient la durée et le facteur de lot aléatoire.

y = Xβ + Z₁μ₁+ε

La matrice de variance/covariance générale du vecteur de réponse, y, est définie comme suit :

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

où

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_c sont appelés des composantes de la variance.

En factorisant la variance, vous pouvez trouver une représentation de H(θ), qui se trouve dans le calcul du log de vraisemblance des modèles mixtes.

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

Lorsque le lot est un facteur aléatoire, les estimations du paramètre inconnu sont obtenues par minimisation du négatif du logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. Cette minimisation revient à maximiser le logarithme de la fonction de vraisemblance restreinte. La fonction à minimiser est la suivante :

Notation

La transformation de Box-Cox sélectionne les valeurs lambda (comme indiqué ci-dessous) qui minimisent la somme des carrés des valeurs résiduelles. La transformation obtenue est Y ^λ lorsque λ ≠ 0, et ln(Y) lorsque λ = 0. Lorsque λ < 0, Minitab multiplie également la réponse transformée par −1 pour conserver l'ordre de la réponse non transformée.

Minitab recherche une valeur optimale entre −2 et 2. Les valeurs en dehors de cet intervalle sont susceptibles de ne pas fournir un meilleur ajustement.

Voici quelques transformations courantes dans lesquelles Y′ représente la transformation des données Y :

Valeur lambda (λ)	Transformation
λ = 2	Y′ = Y 2
λ = 0,5	Y′ =
λ = 0	Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1	Y′ = −1 / Y

Si l'interaction Lot*Durée est significative, l'analyse ajuste le premier modèle. Si l'interaction n'est pas significative mais que le terme Lot l'est dans le deuxième modèle, l'analyse ajuste le deuxième modèle. Sinon, l'analyse ajuste le troisième modèle.

Le test permettant de déterminer si les lots doivent être regroupés est légèrement différent de celui qui détermine si le terme Lot doit être inclus, bien que les deux dépendent de la loi du Khi deux. Les formules des statistiques de test et des valeurs de p sont les suivantes.

Test entre le modèle 1 et le modèle 2

différence = −2L₂ − (−2L₁)

p = 0,5 * Prob(χ²₁ > différence) + 0,5 * Prob(χ²₂ > différence)

Test entre le modèle 2 et le modèle 3

différence = −2L₃ − (−2L₂)

p = 0,5 * Prob(χ²₁ > différence)

Notation

Références

1. Searle, S.R., Casella, G. et McCuloch, C.E. (1992), Variance Components
2. West, B.T., Welch, K.B. et Galecki, A.T. (2007), Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
3. Chow, S. (2007), Statistical Design and Analysis of Stability Studies.